Normalengleichung und eine Koordinatengleichung

Question

Aufgabe:

3 Ebenen (13 Punkte)
Gegeben seien die Punkte p1 = (−2; 3; 5), p2 = (1; −3; 4), p3 = (4; 2; 1) und p4 =
(2; 3; −2). Ermitteln Sie eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung für eine
Ebene E, die den Punkt P4 enthält und parallel zu der Ebene ist, die durch die Punkte P 1,P 2
und P3 geht

Problem/Ansatz:

Answer 1

P1P2 = P2 - P1 = [1, -3, 4] - [-2, 3, 5] = [3, -6, -1]
P1P3 = P3 - P1 = [4, 2, 1] - [-2, 3, 5] = [6, -1, -4]

Parameterform (war eigentlich nicht verlangt)

E: X = [2, 3, -2] + r·[3, -6, -1] + s·[6, -1, -4]

Normalenvektor

n = [3, -6, -1] ⨯ [6, -1, -4] = [23, 6, 33]

Normalengleichung

E: (X - [2, 3, -2]) * [23, 6, 33] = 0

Koordinatengleichung
multipliziere die Normalengleichung einfach aus

E: 23·x + 6·y + 33·z = -2

Answer 2

Aus den Punkten \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\) zwei Spannvektoren der Ebene bestimmen, die durch die Punkte \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\) verläuft.

Kreuzprodukt der Spannvektoren liefert einen Normalenvektor \(n\) der Ebene.

Wegen der Parallelität der zwei Ebenen ist das auch ein Normalenvektor von \(E\).

Normalengleichung von \(E\) ist

        \(\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-p_4\right)\cdot n = 0\).

Koordinatengleichung bekommst du indem du in der Normalengleichung das Skalaprodukt ausrechnest.