Komposition von fg ist total differenzierbar in einem Punkt

Question

Aufgabe:

U ein offene Teilmenge von ℝⁿ , x₀∈U und f,g:U→ℝ.

Zu zeigen ist: f ist stetig und g total differenzierbar in x₀ mit g(x₀) = 0, so ist fg:U→ℝ total differenzierbar in x₀ mit

D(fg)(x₀)=f(x₀)Dg(x₀)

Problem/Ansatz:

weshalb D(fg)(x₀)=f(x₀)Dg(x₀) gilt ist, klar und leicht zu zeigen mit der Produktregel.

Nun fehlt noch die totale Differenzierbarkeit in x₀.
Wenn ich es richtig verstehe reicht es zu zeigen, dass:

lim_x→x0 1/|x-x₀| ( f(g(x)) - L(g(x)-g(x₀)) - f(g(x₀)) ) = 0

Weiter würde ich dann bekommen

lim_h→0 1/|h| ( f(h) - L(h) - f(0) )

Wenn ich nun für L die Nullfunktion wähle und da f(h) = f(0) wegen Stetigkeit, dann würde ich ja die Bedingung erfüllen und fg ist total differenzierbar in x₀.

Also meine Frage ist, ob ich da korrekt vorgegangen bin und damit den Beweis korrekt geführt habe oder einen Fehler drinnen habe.

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe :)

Answer 1

Hallo,

ob Du etwas Richtiges meinst, ist nicht zu erkennen. Die Aufgabe bezieht sich doch auch die Funktion $x \mapsto f(x)g(x)$ (also Produkt der Funktionswerte). Du schreibst aber dann $f(g(x))$, was etwas andere ist und hier gar nicht definiert ist.

Außerdem ist " f(h) = f(0) wegen Stetigkeit," sicher falsch.

Gruß Mathhilf

Comments

Hooppla, das sollte eigentlich ein Kommentar sein. Dann jetzt eine richtige Antwort:

Zu zeigen ist, dass $F(x):=f(x)g(x)$ im Punkt $a=x_0$ differenzierbar ist. Dazu ist zu untersuchen $R(h):=F(a+h)-F(a)-Lh$, wobei L die (potentielle) Ableitung ist. Aufgrund der Aufgabenstellung gilt notwendig $Lh=f(a)Dg(a)h$. Es gilt:

$$R(h)=f(a+h)g(a+h)-f(a)Dg(a)h$$

$$=f(a+h)[g(a+h)-g(a)-Dg(a)h] + [f(a+h)-f(a)]Dg(a)h$$

Wegen der Stetigkeit, ist f in einer Umgebung von a beschränkt, also etwa

$$|f(a+h)| \leq \alpha \text{ für } |h|<\delta$$

Außerdem ist $|Dg(a)h| \leq |Dg(a)| |h|$. Damit erhält ma:

$$\frac{1}{|h|} |R(h)| \leq \alpha \frac{1}{|h|}|g(a+h)-g(a)-Dg(a)h|$$$$+|f(a+h)-f(a)||Dg(a)|$$

Der erste Summan geht gegen 0 wegen der Differenzierbarkeit von g, der zweite wegen der Stetigkeit von f.

Gruß Mathhilf

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Hi, kurze Frage zu deiner Antwort:

Du hast die Zeile $R(h):=F(a+h)-F(a)-Lh$ und setzt dann für F(a+h) und für Lh die jeweiligen Definitionen einund kommst auf $R(h)=f(a+h)g(a+h)-f(a)Dg(a)h$. Meine Frage: was ist mit dem -F(a) Teil aus der ersten Zeile passiert? Fällt das einfach so weg? Oder übersehe ich einfach nur irgendwas offensichtliches?

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Welchen Wert hat denn F(a)?

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Ah ja, ok. F(a) = f(a)*g(a) = 0 wegen g(a) = 0.