Wie bestimme das a und b in dieser Aufgabe?

Question

Gegeben sei die Funktion
$$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x^{2}+y^{2}+2 x y$$
und die Kurve $\vec{\gamma}$ mit Parametrisierung
$$\vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{l} 2 \cos (t) \\ 2 \sin (t) \end{array}\right), \quad t \in[0,2 \pi]$$
Der Ansatz zur Berechnung des skalaren Kurvenintegrals führt auf das Integral
$$\int \limits_{\vec{\gamma}} f \mathrm{~d} s=\int \limits_{0}^{2 \pi} a \cos (t) \sin (t)+b \mathrm{~d} t$$
mit $a, b \in \mathbb{R}$. Bestimmen Sie $a$ und $b$.
$\bullet a=$
- $b=$

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral#Wegintegral_erster_Art

Hier steht die Definition. Einfach einsetzen und $\cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1$ verwenden.

Answer 1

Aloha :)

Das Schöne an der Aufgabe ist, dass du das Integral ja gar nicht auszurechnen brauchst. Du musst dir allerdings überlegen, wie man das Integral so umformt, dass man $a$ und $b$ ablesen kann.

Wir bewegen uns entlang des Weges$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{2\cos t}{2\sin t}\quad;\quad t\in[0;2\pi]$$durch das Feld$$f(x;y)=x^2+y^2+2xy$$Setzen wir darin die $x$- und $y$-Koordinate des Weges ein, erhalten wir:$$f(t)=f(x(t);y(t))=4\cos^2+4\sin^2 t+8\sin t\cos t=4\overbrace{(\cos^2t+\sin^2t)}^{=1}+8\sin t\cos t$$$$f(t)=8\cos t\sin t+4$$

Damit lautet nun das Integral:$$I=\int\limits_\gamma f(\vec r)\,dr=\int\limits_0^{2\pi}f(t)\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\left(8\cos t\sin t+4\right)\left\|\binom{-2\sin t}{2\cos t}\right\|dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(8\cos t\sin t+4\right)\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t}\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(8\cos t\sin t+4\right)\cdot2\underbrace{\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}}_{=1}\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(16\cos t\sin t+8\right)\,dt$$Es ist also $a=16$ und $b=8$.

Comments

Also ich gebe in meinem Rechner 2cos ² t +2sin² t+2*2cos*2sin, bekomme aber nicht 4cos²t+4sin²t+8sin t cos t oder berechne ich was falsches ..?

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Du tippst das Falsche ein:

$$f(x;y)=x^2+y^2+2xy$$$$\phantom{f(x;y)}=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2+2(2\cos t)(2\sin t)$$$$\phantom{f(x;y)}=4\cos^2t+4\sin^2t+8\cos t\sin t$$$$\phantom{f(x;y)}=4+8\cos t\sin t$$

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Oh okay, eine Frage hätte ich noch, wie kommst du auf √4 sin² t + 4cos² t?

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Das ist der Betrag des Vektors, es gilt ja allgemein$$\left\|\binom{a}{b}\right\|=\sqrt{a^2+b^2}$$Das habe ich hier angewendet:

$$\left\|\binom{-2\sin t}{2\cos t}\right\|=\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2}=\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t}$$