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Gegeben sei die Funktion
$$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x^{2}+y^{2}+2 x y $$
und die Kurve \( \vec{\gamma} \) mit Parametrisierung
$$ \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{l} 2 \cos (t) \\ 2 \sin (t) \end{array}\right), \quad t \in[0,2 \pi] $$
Der Ansatz zur Berechnung des skalaren Kurvenintegrals führt auf das Integral
$$ \int \limits_{\vec{\gamma}} f \mathrm{~d} s=\int \limits_{0}^{2 \pi} a \cos (t) \sin (t)+b \mathrm{~d} t $$
mit \( a, b \in \mathbb{R} \). Bestimmen Sie \( a \) und \( b \).
\( \bullet a= \)
- \( b= \)

von

Hier steht die Definition. Einfach einsetzen und \( \cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1 \) verwenden.

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Aloha :)

Das Schöne an der Aufgabe ist, dass du das Integral ja gar nicht auszurechnen brauchst. Du musst dir allerdings überlegen, wie man das Integral so umformt, dass man \(a\) und \(b\) ablesen kann.

Wir bewegen uns entlang des Weges$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{2\cos t}{2\sin t}\quad;\quad t\in[0;2\pi]$$durch das Feld$$f(x;y)=x^2+y^2+2xy$$Setzen wir darin die \(x\)- und \(y\)-Koordinate des Weges ein, erhalten wir:$$f(t)=f(x(t);y(t))=4\cos^2+4\sin^2 t+8\sin t\cos t=4\overbrace{(\cos^2t+\sin^2t)}^{=1}+8\sin t\cos t$$$$f(t)=8\cos t\sin t+4$$

Damit lautet nun das Integral:$$I=\int\limits_\gamma f(\vec r)\,dr=\int\limits_0^{2\pi}f(t)\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\left(8\cos t\sin t+4\right)\left\|\binom{-2\sin t}{2\cos t}\right\|dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(8\cos t\sin t+4\right)\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t}\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(8\cos t\sin t+4\right)\cdot2\underbrace{\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}}_{=1}\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(16\cos t\sin t+8\right)\,dt$$Es ist also \(a=16\) und \(b=8\).

von 82 k 🚀

Also ich gebe in meinem Rechner 2cos 2 t +2sin2 t+2*2cos*2sin, bekomme aber nicht 4cos2t+4sin2t+8sin t cos t oder berechne ich was falsches ..?

Du tippst das Falsche ein:

$$f(x;y)=x^2+y^2+2xy$$$$\phantom{f(x;y)}=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2+2(2\cos t)(2\sin t)$$$$\phantom{f(x;y)}=4\cos^2t+4\sin^2t+8\cos t\sin t$$$$\phantom{f(x;y)}=4+8\cos t\sin t$$

Oh okay, eine Frage hätte ich noch, wie kommst du auf √4 sin^2 t + 4cos^2 t?

Das ist der Betrag des Vektors, es gilt ja allgemein$$\left\|\binom{a}{b}\right\|=\sqrt{a^2+b^2}$$Das habe ich hier angewendet:

$$\left\|\binom{-2\sin t}{2\cos t}\right\|=\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2}=\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t}$$

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