Skizziere und parametisiere den Rand G von G durch zwei Kurven

Question

Es sei das Vektorfeld \( \vec{v}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch \( \vec{v}(x, y)=\left(x^{2} y, x+y\right) \). Weiterhin sei
$$ G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y \leq x \text { und } y \geq x^{2}\right\} . $$
Skizzieren Sie \( G \) und parametrisieren Sie den Rand \( \partial G \) von \( G \) durch zwei Kurven \( \gamma_{1}, \gamma_{2} \), wobei \( \gamma_{1} \) das untere Randstueck (vom Ursprung weglaufend) und \( \gamma_{2} \) das obere Randstueck (zum Ursprung hinlaufend) von \( G \) beschreibt.
Es gilt
$$ \int \limits_{\gamma_{1}}\langle\vec{v}(\vec{x}), \vec{d} s\rangle=\frac{a}{30} $$
woebei \( a=\quad \mathbf{x} \) gilt.

Weiterhin gilt
$$ \int \limits_{\gamma_{2}}\langle\vec{v}(\vec{x}), \vec{d} s\rangle=\frac{b}{4} $$
woebei \( b=\quad \mathbf{x} \) gilt.

Skizziert habe ich das schon, nur wie berechne ich das?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die beiden Graphen \(y_1=x\) und \(y_2=x^2\) zeichnest, wird klar, dass das Gebiet zwischen diesen beiden Kurven für \(x\in[0;1]\) gemeint ist.

~plot~ x^2 ; x ; [[0|1|0|1]] ~plot~

Die untere Kurve \(\gamma_1\) ist die Parabel \(y_2=x^2\), auf ihr sollen wir vom Ursprung weglaufen:$$\gamma_1\colon\;\vec r_1=\binom{x}{y}=\binom{t}{t^2}\quad;\quad t\in[0;1]$$Die obere Kurve \(\gamma_2\) ist die Gerade \(y_1=x\), auf ihr sollen wir vom Punkt \((1;1)\) zum Urpsrung zurücklaufen:$$\gamma_2\colon\;\vec r_2=\binom{x}{y}=\binom{1-t}{1-t}\quad;\quad t\in[0;1]$$

Damit kannst du nun die Wegintegrale über beide Teilstücke bestimmen:

$$I_1=\int\limits_{\gamma_1}\vec v\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec v(t)\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{x^2(t)y(t)}{x(t)+y(t)}\binom{1}{2t}\,dt=\int\limits_0^1\binom{t^2\cdot t^2}{t+t^2}\binom{1}{2t}\,dt$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^1\left(t^4+2t^2+2t^3\right)dt=\left[\frac{t^5}{5}+\frac23\,t^3+\frac12\,t^4\right]_0^1=\frac15+\frac23+\frac12=\frac{6+20+15}{30}=\frac{41}{30}$$

$$I_2=\int\limits_{\gamma_2}\vec v\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec v(t)\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{x^2(t)y(t)}{x(t)+y(t)}\binom{-1}{-1}\,dt=\int\limits_0^1\binom{(1-t)^2(1-t)}{(1-t)+(1-t)}\binom{1}{1}\,dt$$$$\phantom{I_2}=\int\limits_0^1\left((1-t)^3+2(1-t)\right)dt=\left[-\frac{(1-t)^4}{4}-(1-t)^2\right]_0^1=\frac14+1=\frac54$$

Es sind also \(a=41\) und \(b=5\).

Comments

\( \begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1-t\\1-t \end{pmatrix} \)

sind von der Formel her schon gegeben oder, also man braucht die nicht irgendwie auszurechnen.

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Die Kurven sind gegeben. Die erste ist die Parabel \(y=x^2\) vom Ursprung zum Punkt \((1;1)\):$$\binom{x}{y}=\binom{t}{t^2}\quad;\quad x\in[0;1]$$Die zweite ist die Gerade \(y=x\) vom Punkt \((1;1)\) zum Ursprung:$$\binom{x}{y}=\binom{1-t}{1-t}\quad;\quad t\in[0;1]$$

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Und \( \begin{pmatrix} t^2*t^2\\t+t^2 \end{pmatrix} \), also man hatte ja vorher \( \begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix} \) dann einfach mit der funktion davor von

 \( \begin{pmatrix} t^2*t^2\\t+t^2 \end{pmatrix} \) multipliziert oder wie?

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Die Funktion lautet ja \(\binom{x^2y}{x+y}\).

Für \(\gamma_1\) ist \(x=t\) und \(y=t^2\) einzusetzen.

Für \(\gamma_2\) ist \(x=1-t\) und \(y=1-t\) einzusetzen.