Parametrisieren von Kurven

Question

Aufgabe:

Parametrisieren Sie die angegebenen Kurven, d.h.
geben Sie Funktionen x(t), y(t) sowie den Definitionsbereich für t an, so dass das
Bild der Zuordnung der angegebenen Kurve entspricht.

t->(x(t)
    y(t))

1)Die Strecke von P(−3|2) zu Q(15|29).

2) Die Gerade durch R(8|8) und S(−2|38).

3) Eine (beliebige) Kurve durch die Punkte A(−1| − 5), B(1|3) und C(3|19).
(Hier gibt es unendlich viele mögliche Kurven.) Was ist genau damit gemeint???

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht wie ich vorgehen soll. Habt Ihr Ahnung?

Vielen dank im voraus.

Answer 1

a) $$\alpha: [0,1]\to \mathbb{R}^2, \, t\mapsto \begin{pmatrix} -3+18t\\2+27t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}18 \\ 27 \end{pmatrix}$$ b)$$\beta : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \, t\mapsto \begin{pmatrix} 8-10t\\8+30t\end{pmatrix}$$ c) 

Es gibt unendlich viele Kurven, die durch diese drei Punkte gehen. Ein Weg ist in der Mathematik einfach eine stetige Funktion, die zwei Punkte miteinander verbindet.

Es ginge zum Beispiel eine Parabel, also \(\gamma : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \, t\mapsto \begin{pmatrix} t\\t^2+4t-2 \end{pmatrix}\). Aber auch einzelne gerade Teilstrecken. Also die Verbindungsstrecke von A nach B und die Verbindungsstrecke von B nach C.

Beispiel: Verbindungsstrecke

Beispiel: Parabel

Comments

ich komme nicht drauf wie Sie das berechnet haben. könnten Sie nur das kurz erläutern z.b a)

ich wäre da vielleicht auf : ( -3            18        gekommen.
                                         2       + t*17 )

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Hallo,

du berechnest \(\overrightarrow{OP}+t\cdot \overrightarrow{PQ}\). Hierbei ist \(\overrightarrow{OP}\) der Stützvektor und \(\overrightarrow{PQ}\) der Verbindungsvektor.

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vielen dank.

Was ist der Unterschied zwischen Strecke und Gerade? sind beides dann eine lineare funktion.

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Achte auf den Definitionsbereich. Bei der Strecke wähle darf t alle Werte in [0,1] annehmen, die Strecke ist also im Gegenteil zur Geraden beschränkt.

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okay, danke. das ergibt Sinn.

-dürfte ich Ihnen noch ne frage zum parametrisieren stellen?

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Ja, was gibt's?

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Um eine parametrierte Kurve zwischen drei Punkten, Zuständen oder was auch immer zu erzeugen, kann man auch diese drei Basisfunktionen benutzen$$\begin{aligned}f_{0}\left(t\right) &=2\left(t-\frac{1}{2}\right)\left(t-1\right) \\ f_{05}\left(t\right) &= 4 t\left(1-t\right)  \\ f_{1}\left(t\right)\ &=\ 2t\left(t-\frac{1}{2}\right)\end{aligned}$$Sie haben die Eigenschaft, dass sie an den Stellen \(t=0\), \(t=0,5\) und \(t=1\) jeweils einmal den Wert \(1\) und bei den anderen beiden Werten von \(t\) den Wert \(0\) annehmen.

Dann ist die parametrierte Kurve immer $$ t \mapsto A\cdot f_{0}\left(t\right)+B\cdot f_{05}\left(t\right)+C\cdot f_{1}\left(t\right)$$

Das ist dann das Parabelstück aus obiger Lösung, aber nur, weil die X-Werte äquidistant sind. Wenn z.B. der Punkt \(C\) bei \(C=(-9|\, 5)\) läge, sähe die gleiche Kurve so aus: