Wie genau leite ich den Bruch -1/xy nach x ab?

Question

Aufgabe: f'_x(x,y) = -27x³ -\( \frac{1}{xy} \) *1

Problem/Ansatz: Hallo, ich brauche Hilfe bei einer Funktion und ihrer zweiten partiellen Ableitung nach xx und xy. Wie genau leite ich den Bruch -1/xy nach x ab?

Answer 1

[-\( \frac{1}{xy} \)] nach x abgeleitet:   -\( \frac{0*xy-1*y}{x^2*y^2} \)=\( \frac{1}{x^2y} \)

Comments

Laut der Lösung sollte \( \frac{1}{x²} \) rauskommen

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Lösungen sind nicht selten falsch.

Answer 2

Aloha :)

Bei der partiellen Ableitung behandelst du alle Variablen wie konstante Zahlen, bis auf die eine Variable, nach der du ableitest.

Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) ist \(y\) also eine Konstante:$$\frac{\partial}{\partial x}\left(-27x^3-\frac{1}{xy}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-27x^3\right)-\underbrace{\frac1y}_{=\text{const}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right)=-81x^2-\frac{1}{y}\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)$$$$\qquad=-81x^2+\frac{1}{x^2y}$$

Bei der partiellen Ableitung nach \(y\) ist \(x\) eine Konstante:$$\frac{\partial}{\partial y}\left(-27x^3-\frac{1}{xy}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\underbrace{\left(-27x^3\right)}_{=\text{const}}-\frac1x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right)=0-\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac1{y^2}\right)=\frac{1}{xy^2}$$

Answer 3

[1/(xy)]' = [1/y * x^{-1}]' = 1/y * (-1) * x^{-2} = -1/(x²y)