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Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \) gilt:

$$ \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}=\frac{n}{6 n+4} $$

Ich weiß das man laut Induktionsbehauptung auf eigentlich auf (n+1)/(6n+10) kommen soll aber ich komme einfach nicht drauf kann mir das jemand eventuell erklären am besten Schritt für Schritt ?

von

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Hallo,

Der Induktionsanfang ist kein Problem:$$n=1 \implies \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}\space \checkmark$$und der Übergang von \(n\) nach \(n+1\) (der Induktionsschritt) sieht so aus, dass man die Summe nach \(n+1\) laufen lässt und dann zusammen mit der Induktionsvoraussetzung (für \(n=1\) ok!) zu einem Ausdruck kommt, der enststeht, wenn Du statt \(n\) das \(n+1\) einsetzt. D.h. aus$$\frac{n}{6n+4}$$ muss dann $$\frac{n}{6n+4} \to \frac{n+1}{6(n+1)+4}=\frac{n+1}{6n+10}$$ werden. Die Rechnung ist:$$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}&=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}\space + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{n}{6n+4} + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{n}{2(3n+2)} + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{1}{3n+2}\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{3n+5}\right)\\ &= \frac{1}{3n+2}\cdot\frac{n(3n+5)+2}{2(3n+5)}\\ &= \frac{1}{3n+2}\cdot\frac{3n^2+5n+2}{2(3n+5)}\\ &= \frac{(3n+2)(n+1)}{2(3n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{n+1}{6n+10}\\&\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Damit ist bewiesen, dass die Gleichung für alle \(n \in \mathbb N\) zutrifft.

von 37 k

Danke für die ausführliche Hilfe verstehe nur gerade nicht den Schritt von Zeile 3 auf Zeile 4 mit n zu 1 und auf die andere Seite kommt n/2

verstehe nur gerade nicht den Schritt von Zeile 3 auf Zeile 4 mit n zu 1 und auf die andere Seite kommt n/2

$$\begin{aligned} \quad\quad&= \frac{n}{2(3n+2)} + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}&&|\,(3)\\ &= \frac{1}{3n+2} \cdot \frac n2+\frac{1}{3n+2}\cdot \frac{1}{3n+5}&&|\,(4)\\ &= \frac{1}{3n+2}\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{3n+5}\right)&&|\,(5)\\&= \frac{1}{3n+2}\cdot\frac{n(3n+5)+2}{2(3n+5)}&&|\,(6)\\ &\text{usw. s.o.}\end{aligned}$$In Zeile (3) habe ich den Term \(1/(3n+2)\) ausgeklammert. Und von (5) auf (6) werden dann die Brüche auf den Hauptnenner gebracht, um sie zu addieren.

Ah ich verstehe danke dir ^^ hilft mir sehr viel weiter

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Hallo

du rechnest einfach nach dass  n/(6n+4)*1/[(3n+2)*(3n+5)] =(n+1)/(6n+10) entweder einfach stur die Gleichung auflösen oder oben n+1 unten 6n+1 ausklammern (dividieren)

oder du nutzt aus dass das eine Teleskopsumme ist und 1/(3k-1)(3k+2)=1/3*(1/(3k-1)-1/(3k+2)) ist entsprechend für k=n+1

Gruß lul

von 66 k 🚀

Das Prob ist das ich da auf n+1 /6n +4 komme und muss ich rechts da nicht noch (n+1) für n einsetzten ?

Hallo

dann musst du vorrechnen, wie soll ich sonst deinen Fehler finden? ich hatte meine Antwort noch ergänzt.

lul

Muss gucken wenn nicht schreibe ich es gleich das Bild ist zu groß

blob.png

Text erkannt:

Aulpabe 2) Vollstandipe lnderition
\( \sum \limits_{n=\lambda}^{4} \frac{1}{(3 h-1)(3 x+2)}=\frac{u}{6 u+4} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{n}=\frac{1}{(3 \cdot 1-1)(3 \cdot 1+1)}=\frac{1}{(2)(5)}=\frac{1}{6 \cdot 1+4}=\frac{1}{10} \)
\( \sum \limits_{4=1}^{n} \frac{1}{(3)-1 / 13 h+2}=\frac{4}{6 u+4} \)
ludarious Le tauptumg \( \sum \limits_{n=1}^{n+1} \frac{1}{(3 a-1)(3 x+2}=\frac{n+1}{6 \cdot(n+1)+4} \)
Indwriousedritt:
\( =\frac{n \cdot\left(\frac{3}{2} u+\frac{5}{2}\right)+1}{2(3 u+2)\left(3 n+\frac{5}{2}\right)} \)
isarzen
\( =\frac{n+1}{2(2 n+2)}=\frac{n+1}{6 u+4} \)

Ist doch alles richtig! wenn $$\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)} = \frac{n}{6n+4}$$für \(n=1\)  korrekt ist und Du zeigen kannst, dass dann auch $$\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)} = \frac{n+1}{6(n+1)+4}$$richtig ist, dann passt es doch für alle \(n\)!

Ist doch alles richtig!

Nein - doch nicht. Bei Dir steht ja was anderes. Ab der dritten Zeile von unten kann ich es nicht mehr entziffern ...

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