Grenzwert von √(ei*π(1+1/n)) berechnen

Question

Aufgabe:

Grenzwert von √(e^i*π(1+1/n)) berechnen.

Wie kann ich den den grenwert dieser komplexen Zahl am besten berechnen?

Comments

Hallo,

nach der eulerschen Identität gilt \(e^{i\pi}=-1\). Es gilt dann:$$e^{i\pi\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\left(e^{i\pi}\right)^{1+\frac{1}{n}}=(-1)^{1+\frac{1}{n}}\xrightarrow{n\to \infty} -1$$

Answer 1

Ist das überhaupt so einfach möglich. Die Wurzel hätte, wenn man sie überhaupt aus komplexen Zahlen zulässt eigentlich 2 Lösungen oder nicht? Kann man da von dem Grenzwert sprechen?

Man könnte das so machen wenn man das mal erlaubt.

√(e^(i·pi·(1 + 1/n)))

= e^(i·pi·(1/2 + 1/(2n)))

für n gegen unendlich

= e^(i·pi·(1/2 + 0))

= e^(i·pi/2)

= i

Answer 2

Hallo,

nach der eulerschen Identität gilt \(e^{i\pi}=-1\). Es gilt dann:$$e^{i\pi\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\left(e^{i\pi}\right)^{1+\frac{1}{n}}=(-1)^{1+\frac{1}{n}}\xrightarrow{n\to \infty} -1$$ D. h., dass \(\sqrt{e^{i\pi\left(1+\frac{1}{n}\right)}}\to \sqrt{-1}=i\)

Comments

Warum nicht -i?

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Eigentlich ist es nicht eindeutig.