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Aufgabe:

Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Zahlenfolgen:

limes √(2n-8) ^(1/(n-4)) für n gegen unendlich

(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}(\sqrt{2 n-8})^{\frac{1}{n-1}} \)

$$ \text { Dabei können Sie die Formel } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x} $$
benutzen.

 


Problem/Ansatz:

Capture.JPG

Ich kann nicht weiter vereinfachen..könnte mir bitte jemanden helfen?

Danke

von

1. Musst du zwingend bei allen Teilaufgaben die angegebene Formel benutzen?

2. Hast du versucht zu Beginn u = 1/(n-4) zu substituieren? wobei u nun gegen 0 geht.

Danke für deine Antwort.

Die Formel muss man nicht verwenden.

Die Lösung soll nach meiner Meinung 1 sein

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%E2%88%9A%282n-8%29+%5E%281%2F%28n-4%29%29

1 als Grenzwert scheint zu passen.

Skärmavbild 2019-10-23 kl. 10.21.43.png

Wenn unbedingt mit der obigen Formel, müsste man ja auf x = 0 und somit e^0 = 1 kommen.

2 Antworten

+3 Daumen

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von 117 k 🚀
+1 Daumen

\(\sqrt{2n-8}^{\frac{1}{n-4}}=(2n-8)^{\frac{1}{2n-8}}\)

\(\lim\limits_{n\to\infty}(2n-8)^{\frac{1}{2n-8}}=\lim\limits_{m\to\infty}(m)^{\frac{1}{m}}= \lim\limits_{m\to\infty} e^{\log_e\left(m^{\frac{1}{m}}\right)}=\lim\limits_{m\to\infty} e^{\frac 1 m \cdot \log_e(m)}=e^0 = 1\), weil \( \lim\limits_{m\to\infty} \frac 1  m \log_e(m)\to 0\).

Das letzte (weil, ...) ist sehr wichtig, sonst fehlt dir ein Zwischenschritt. Diese Lösung ist auch etwas einfacher als von GrosserLoewe, weil ich vorher substituiere und somit ein paar Zwischenschritte spare.

von 2,1 k

Vielen Dank!

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