Question

Untersuchen Sie, für welche x die folgende Reihe konvergiert: $$\sum\limits_{n=0}^{\infty} {\frac{(n^2+7n)x^n}{e^n}}$$

Comments

Weisst du noch, wie https://www.mathelounge.de/857897/untersuchen-folgende-konvergenz-be… ging?

Bringt Folgendes etwas: xⁿ / eⁿ = (x/e)ⁿ ? Dazu dann noch Vorfaktor und Summenzeichen?

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$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(x/e)^n}$ ist eine geometrische Reihe, und diese konvergiert falls |x| < e.
Aber was ist mit der Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n^2+7n)/e^n}$, wie kann ich diese Reihe überhaupt auf Konvergenz untersuchen?

Answer 1

Die Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} {\frac{(n^2+7n)x^n}{e^n}}$ ist eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $x_0 = 0$.

Zu jeder Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n\cdot \left(x-x_0\right)^n$ mit Entwicklungspunkt $x_0$ gibt es ein $r\in \mathbb{R}\cup\{\infty\}$, so dass die Reihe konvergiert falls

        $\left|x - x_0\right| < r$

ist und divergiert falls

        $\left|x - x_0\right| > r$

ist. Die Zahl $r$ heißt Konvergenzradius der Potenzreihe und du solltest in deinen Unterlagen zwei Formeln finden, wie du ihn berechnest.

Den Fall $\left|x - x_0\right| = r$ musst du gesondert untersuchen.

Comments

Der Konvergenzradius kann auch unendlich sein.

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Weiß ich doch ... :-)

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Ja, das dachte ich mir.

Answer 2

Mit $$a_{n} = \dfrac{n^2+7n}{e^n}$$ ist der Konvergenzradius hier $$r = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \dfrac {a_{n}}{a_{n+1}} \right|.$$ Die Reihe konvergiert für alle $x$ innerhalb des Konvergenzradius und divergiert für alle $x$ außerhalb. Die Fälle $x=r$ und $x=-r$ müssen gesondert untersucht werden.

Rechne also zunächst $r$ aus.