Grenzwert einer Funktion mit 2 Variablen

Question

Aufgabe:

Ich soll schauen, ob der Grenzwert

$$\lim\limits_{x,y\to(0,0)}= \frac{(x-y)^{2}(e^{xy}-1)}{x^{4}+y^{4}}$$ existiert und ob f stetig in (0,0) ist.

lim (x,y)->(0,0) f(x,y), wobei f(x,y)=((x-y)²(e^(xy)-1))/(x⁴+y⁴)

Comments

Versuche halt mal die Grenzwerte auf unterschiedlichen Geraden y=a*x zu untersuchen, um ein Gefühl für das Verhalten der Funktion zu bekommen

Für a=1 also x=y ist f(x,y) = 0. Der Grenzwert entlang dieser Gerade ist somit 0

Für a=-1 ist -x=y dann erhältst du f(x,y) = 2/x² (exp(-x²) - 1). Man kann sich jetzt schnell mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion überlegen, dass entlang dieser Gerade der Grenzwert -2 ist.

Somit nicht stetig in (0,0)

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Okay danke, wie beantworte ich die Frage mit dem Grenzwert?

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vgl:

https://www2.htw-dresden.de/~mvoigt/v3-5_1-5_2.pdf

Answer 1

Okay danke, wie beantworte ich die Frage mit dem Grenzwert?

Wenn du y = ax also eine Ursprungsgerade nimmst auf der du dich bewegst und für unterschiedliche Werte von a verschiedene Grenzwerte bekommst, dann gibt es keinen gemeinsamen Grenzwert. Es gibt also keinen Grenzwert.

Das hat dir MatHaeMatician doch sehr schon für a = 1 und a = -1 vorgerechnet.