Eigenwerte/Eigenräume bestimmen, charakteristische Polynom

Question

In meiner Aufgabe muss ich die Eigenwerte und Eigenräume von

A=

-3	-8	-4
2	5	2
1	2	2

∈ ℚ^(3×3)
zu bestimmen. In der Musterlösung hat man zunächst das charakteristische Polynom mithilfe der Dreiecksregel/Regel von Sarrus berechnet:

χ_A(X)=det(X I₃-A)=det

X+3	8	4
-2	X-5	-2
-1	-2	X-2

=(X+3)(X-5)(X-2)+8(-2)(-1)+4(-2)(-2)-8(-)2(X-2)-4(X-5)(-1)-(X+3)(-2)(-2)
Das Ergebnis ist: X³-4X²+5X-2

Bei einer anderen Aufgabe musste man auch genau das gleiche rechnen. Die Matrix lautet

B=

2	-1	-1
2	5	2
1	2	2

 ∈ K^3×3

χA(X)=det(X I3-A)=det

X-2	1	-1
2	X-1	1
2	-3	X+1

Man hat dann auf der 3. Spalte die zweite addiert und kommt auf

det

X-2	1	0
2	X-1	X
2	-3	X-2

Dann hat man gerechnet:

(X-2)×det

X-1	X
-3	X-2

-det

2	X
2	X-2

Ergebnis: X(X²-2x+2)

Wieso hat man das gemacht? Und hätte man das genau so bei der ersten Matrix machen können, also Matrix "A", also dass ich dann rechne:

Spalte₃=2×Spalte₃-Spalte₂. Dann habe ich ja bei A oben rechts auch eine 0 und dann habe ich genau so gerechnet wie in der Musterlösung zu B, aber komme nicht auf das gleiche Ergebnis.

Also ich habe dann doch

det

X+3	8	0
-2	X-5	-X+1
-1	-2	2X-2

Answer 1

Aloha :)

Das charakteristische Polynom für eine Matrix $\mathbf B$ bekommst du ja, indem du die Gleichung$$\operatorname{det}\left(\mathbf B-\lambda\cdot\mathbf 1\right)=0$$löst. Bei dir wurde die Gleichung mit $(-1)$ multipliziert und $x$ an Stelle von $\lambda$ gesetzt:$$\operatorname{det}\left(x\cdot\mathbf 1-\mathbf B\right)=0$$In beiden Fällen musst du die Determinante berechnen.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile / Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile / Spalte addiert oder subtrahiert. Das wurde im zweiten Beispiel ausgenutzt, um die Determinante so zu vereinfachen, dass sie möglichst viele Nullen enthält. Je mehr Nullen eine Determinante in einer Zeile oder Spalte enthält, desto einfacher lässt sie sich nach dieser Zeile oder Spalte entwickleln.

Du hättest natürlich auch die Sarrus-Regel verwenden können. Diese funktioniert bei jeder $3\times3$-Determinante.

Comments

Okay, aber hätte ich denn bei A auch eine 0 erzeugen könen, also indem ich Spalte3=2×Spalte3-Spalte2 gerechnet hätte? Und dann wie bei B weitermachen können?

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Der Trick mit der Vielfachen-Addition kann bei jeder Matrix angewendet werden. Die Regel von Sarrus funktioniert nur bei $3\times3$-Matrizen.

Bei der Rechnung für $B$ hast du vermutlich übersehen, dass du die Vorzeichen der Matrix-Elemente ändern musst:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}x-2 & +1 & +1\\-2 & x-5 & -2\\-1 & -2 & x-2\end{array}\right|$$Jetzt kannst du die zweite Spalte von der dritten subtrahieren:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}x-2 & +1 & 0\\-2 & x-5 & 3-x\\-1 & -2 & x\end{array}\right|$$Dann kannst du die dritte Zeile zur zweiten addieren:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}x-2 & +1 & 0\\-3 & x-7 & 3\\-1 & -2 & x\end{array}\right|$$Damit ist die dritte Spalte relativ übersichtlich geworden und wir können die Determinante nach dieser entwickeln:

$$0=(-3)\cdot\left|\begin{array}{rrr}x-2 & +1\\-1 & -2\end{array}\right|+x\cdot\left|\begin{array}{rrr}x-2 & +1\\-3 & x-7\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=-3\cdot((x-2)\cdot(-2)-(-1)\cdot1)+x\cdot((x-2)(x-7)-(-3)\cdot1)$$$$\phantom{0}=-3\cdot(-2x+4+1)+x\cdot(x^2-9x+14+3)$$$$\phantom{0}=-3\cdot(-2x+5)+x\cdot(x^2-9x+17)$$$$\phantom{0}=6x-15+x^3-9x^2+17x$$$$\phantom{0}=x^3-9x^2+23x-15$$$$\phantom{0}=(x-1)(x-3)(x-5)$$Die Eigenwerte von $B$ sind also $1$, $3$ und $5$.

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Okay dankeschön!

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Bei A, also X³-4X²+5X-2 rechnet man noch laut Musterlösung die Nullstellen. Man rechnet dann mit Polynomdivision:

X3-4X2+5X-2:(X-1) und bekommt X²-3X+2

raus und dann rechnet man wieder

X²-3X+2:(X-1) und bekommt X-2 raua

Und dann steht, dass Folgendes gilt:

χ(X)=X³-4X²+5X-2=(X-1)²(X-2)

Wieso rechnet man bei beidem durch (X-1)?

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Die ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen die Zahl ohne "$x$" teilen. Beim Polynom$$x^3-4x^2+5x-2$$ist die Zahl ohne "$x$" die $(-2)$. Ihre Teiler sind $\pm1$ und $\pm2$. Diese Kandidaten setzen wir in das Polynom für $x$ ein und schauen, bei welchen Werten Null heraus kommt. Wir finden, dass dies bei $x=1$ und bei $x=2$ der Fall ist. Also muss das Polynom die Linearfaktoren $(x-1)$ und $(x-2)$ enthalten.

Man kann das Polynom also durch $(x-1)$ und durch $(x-2)$ dividieren. Wir dividieren zuerst durch $(x-1)$ und finden:$$(x^3-4x^2+5x-2)\colon(x-1)=x^3-3x+2$$Daher gilt:$$x^3-4x^2+5x-2=(x-1)\cdot(x^3-3x+2)$$Das quadratische Polynom muss noch durch $(x-2)$ teilbar sein:$$(x^3-3x^2+2)\colon(x-2)=x-1$$Damit ist:$$x^3-4x^2+5x-2=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-1)=(x-1)^2\cdot(x-2)$$Die beiden Eigenwerte von $\mathbf A$ sind also $1$ und $2$.

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Vielen vielen Dank!