Summe zwei Ideal ist gleich 1?

Question

Aufgabe:H ist ein kommutativer Ring mit 1. Sei I_j⊆H, j=1,.....,n Ideale von H mit I_i +I_j =H für i≠j.

ich muss zeigen, für p,q∈ℕ und i≠j:I_j^p +I_i^q =H.

Problem/Ansatz:

ich habe schon gezeigt, dass für geeignet a und b aus zwei verschiedene Ideale gilt: a+b=1. Dann hat man nämlich Einsideal drin.

Aber wie zeigt man das, wenn p,q≥2, (1)Einsideal ist drin?

Answer 1

Seien $I$ und $J$ Ideale mit $I+J=H$.

Wir wollen zeigen, dass dann auch $I^p+J^q=H$ ist.

Jedes Ideal $\neq H$  ist in einem maximalen Ideal $M$ enthalten und

maximale Ideale sind prim, d.h. für sie gilt:

$xy\in M\Rightarrow x\in M\vee y\in M$.

Sei nun $a\in I,b\in J$ mit $a+b=1$.

Angenommen, es wäre $I^p+J^q\neq H$. Dann gäbe es ein

maximales, also primes Ideal $M\neq H$ mit $I^p+J^q\subset M$.

Klar haben wir $a^p\in I^p+J^q\subset M$.

Da $M$ prim ist, folgt $a\in M$. Genauso findet man $b\in M$,

also (da $M$ ein Ideal ist): $1=a+b\in M$,

und damit wäre $M$ kein maximales Ideal: Widerspruch.

Comments

viele Danke für die vollständige Erklärung!