m-n ist natürliche Zahl

Question

Aufgabe:

Für alle \(m,n\in \mathbb{N}\) mit \(m-n\geq 0\) die Eigenschaft \(m-n\in \mathbb{N}\).

\(\mathbb{N}\) ist hierbei als induktive Teilmenge der reellen Zahlen aufgeführt.

Nun habe ich dazu folgenden Beweis aus dem Buch Barner/Flohr Analysis 1 (Seite 29) vorliegen:

Als Vorarbeit wird zunächst gezeigt, dass es kein \(m\in \mathbb{N}\) mit \(0<m<1\) gibt. Dann wird noch kurz gezeigt, dass die vollständige Induktion auch ab \(1\) richtig ist.

Bis hier habe ich auch keine Probleme gehabt. Jetzt kommt aber der Teil, den ich nicht mehr verstehe:

Wenn \(n\in \mathbb{N}\), dann gilt auch \(n-1\in \mathbb{N}\). Diese Aussage gilt für \(n=1\) und wenn sie für \(n\geq 1\) wahr ist, dann auch für \(n+1\). Denn \((n+1)-1=n\) gehört nach Annahme zu \(\mathbb{N}\) also erstrecht zu \(\mathbb{N}_0\).

Problem: Warum wird \(m\) hier nicht im Beweis weiter erwähnt? Offenbar wird ja hier mit der vollständigen Induktion ab \(1\) gearbeitet. Aber warum diese Wahl der Zahl \(n-1\)? Für mich sieht dieser graue Teil ziemlich kaputt hingeschrieben aus.

Comments

Hat niemand eine Idee?

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Ja der Beweis ist (falls er so im Lehrbuch steht) meiner Meinung mach nicht gut erläutert. Ich glaube der Verfasser wollte so Argumentieren:

Wenn m,n ∈ℕ mit m≥n dann ist m-n ∈ℕ.

m-n = (m-1-1-1-1…-1) und jetzt argumentiert er Induktiv, also wenn m ∈ℕ (ohne 0) liegt, dann gilt m-1∈ℕ (inkl. 0) und falls m-1∈ℕ(ohne 0) dann kann man das ganze wiederholen mit m-1-1=m-2 etc.

Warum der Autor hier m nicht mehr erwähnt, liegt evtl daran, dass er die Aussage mit der Aussage: n∈ℕ -> n-1 ∈ℕ (siehe oben) zeigen wollte. Das ist ja nicht mehr die originale Aussage, deswegen hat er wahrscheinlich die Variablen umbenannt, damit man versteht, dass das eine andere Aussage ist, mit der man die Hauptaussage zeigen möchte.

Ich hoffe das hilft :)