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Aufgabe:

Sei X2 +px+q=0 und alle Lösungen reelle Zahlen. Zeigen, oder widerlegen Sie Folgende Aussagen:

(1) Wenn die Lösungen ganze Zahlen sind, so sind auch p und q ganze Zahlen

(2) Wenn p,q ganze Zahlen, dann auch die Lösungen

(3) Wenn p negativ und q positiv, dann sind die Lösungen negative Zahlen


Problem/Ansatz:

Ich habe schon rumprobiert, aber finde keinen Ansatz, der mir etwas bringt. Könnte ihr mir weiterhelfen?

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Schau dir mal den Satz von Vieta an: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Vieta

3 Antworten

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Hallo

Wenn du die Lösungen a,b hast kannst du umschreiben zu (x-a)*(x-b) und siehst direkt den Zusammenhang zwischen p,q und den Lösungen a,b

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀
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(3) Wenn p negativ und q positiv, dann sind die Lösungen negative Zahlen

Hallo,

in der Lösungsformel steht zunächst -p/2.

Das ist positiv, da p negativ ist.

Dazu wird der Wurzelterm addiert bzw. subtrahiert.

Die Summe zweier positiver Terme ist ebenfalls positiv.

Also ist die Behauptung falsch.

Ob die Differenz positiv oder negativ ist, spielt hierbei keine Rolle.

Avatar von 47 k
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Zu (2):

\(x^2+0\cdot x-2=0\), also \(p=0\), \(q=-2\) liefert zwar reelle Lösungen \(\pm\sqrt{2}\),
aber keine ganzzahligen.

Zu (3):

\(x^2-2x+1=(x-1)^2\), also ist die Aussage falsch.

Avatar von 29 k

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