Berechnen Sie im Punkt (x0, y0) den absoluten und relativen Fehler fur die ¨

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie im Punkt (x0, y0) den absoluten und relativen Fehler fur die ¨
Funktion f(x, y)=$\frac{25x*y}{(x+y)}$

Dabei ist nach Angabe der Hersteller der Messgeräte bekannt, dass sich x auf
0.5% genau und y auf 0.1% genau bestimmen lässt. Führen Sie Ihre Rechnung ¨
für den Punkt (4,6) durch.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß nicht wie ich die 0,5% für x und die 0,1% für y einberechnen soll aber das ist mein Ansatz (zumindestens wenn man nur eine unbekannte also nur f(x) hätte:

x=4 (und y=6 ?) in die Funktion einsetzen: =60

60-y=60-6 =54 (absoluter fehler)

und 4/60=6,67% relativer fehler?

Answer 1

Aloha :)

Gemäß der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung gilt für den absoluten Fehler:$$\Delta f=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y\right)^2}$$

Wir brauchen also die partiellen Ableitungen im Punkt $(x_0;y_0)=(4;6)$:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{25y(x+y)-25xy}{(x+y)^2}=\frac{25y^2}{(x+y)^2}\implies\frac{\partial f}{\partial x}(4;6)=9$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{25x(x+y)-25xy}{(x+y)^2}=\frac{25x^2}{(x+y)^2}\implies\frac{\partial f}{\partial y}(4;6)=4$$

Weiter brauchen wir die absoluten Fehler für $x$ und $y$ im Punkt $(x_0;y_0)=(4;6)$:$$\Delta x(4;6)=4\cdot\frac{0,5}{100}=0,02\quad;\quad\Delta y(4;6)=6\cdot\frac{0,1}{100}=0,006$$

Das liefert uns den absoluten Fehler $\Delta f$ im Punkt $(4;6)$:$$\Delta f(4;6)=\sqrt{(9\cdot0,02)^2+(4\cdot0,006)^2}\approx0,1816$$Der relative Fehler $\Delta f_{\mathrm{rel}}$ ist nun auch klar:$$\Delta f_{\mathrm{rel}}(4;6)=\frac{\Delta f(4;6)}{f(4;6)}=\frac{0,1816}{60}=0,3\%$$

Comments

vielen lieben dank das hilft mir sehr.

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hallo,

ich habe doch noch eine frage:

ich habe noch eine etwas andere Formel gefunden und weiß nicht was ich davon halten soll, die hat mein prof in seiner Lösung benutzt:

nachdem man die werte 9 und 4 erhalten hat wird folgende formel benutzt:

9*(4*0,005)+4*(6*0,001) =0,204=20,4 % und am ende dann ebenfalls 0,204/60 =0,34 %

ist die falsch? oder habe ich da vielleicht was vertauscht?

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Hallo,

es gibt verschiedene Fehlertheorien. Dein Prof scheint folgendes verwendet zu haben:

$$\Delta f \approx \partial_x f \cdot \Delta x + \partial_y f \cdot \Delta y$$

Muss Du mal in der Vorlesung checken, was Ihr verwenden sollt.

Gruß Mathhilf.

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Die ist nicht falsch, aber praktisch unbrauchbar. Laut internationalem GUM-Standard, wird die Gauß'sche Fehlerfortpflanzung verwendet, also die Addition der Fehlerquadrate mit anschließendem Wurzelziehen.

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schön zu hören das sich meine Profs weiterbilden und alten scheiß lehren, aber mal ganz davon abgesehen brauche ich das vermutlich eh nicht mehr. danke vielmals.

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Unis kratzen immer nur an den Oberflächen. Wenn du etwas richtig lernen willst, musst du in die entsprechenden Firmen bzw. Spezial-Institute gehen.

Messunsicherheiten sind ein extrem wichtiges Feld. Alle Messgeräte müssen kalibriert sein, d.h. ihre Messgenauigkeit muss innerhalb gewisser Fehlertoleranzen liegen. Da geht um die Benzinuhren, Drehmomentschlüssel, Messungen aller Art...

Wenn man eine komplexe Messung durchführt, muss man sich auf die Fehlertoleranzen der Messgerätehersteller beziehen (dafür gibt es Datenblätter) und diese zur gesamten Messunsicherheit der Messung kombinieren. Details dazu werden im GUM-Standard geregelt:

https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_GUM_6_2020.pdf/d4e…

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vielen dank für die mühen, ich muss ehrlicherweise sagen, dass mich das thematisch nut bedingt interessiert und ich in erster linie die klausur irgendwie bestehen will. Klar betrifft mich das auch in meinem fach (biotechnologie) da man oft genug dinge messen muss und allerhand geräte dafür benötigt, die selbstverständlich kalibriert sein sollen mit möglichst geringem fehler.

Answer 2

60  ist der genaue Wert.

Den größten fehlerhaften Wert bekommst du, wenn du

das Maximum von f für die vorgegebenen Spannen der

Abweichung bestimmst. x bewegt sich zwischen 3,98 und 4,02

und y zwischen 5,994 und 6,006 .

Entsprechend den kleinsten mit dem abs. Minimum in diesem Bereich.

Comments

das heißt meine rechnung oben ist richtig, bis auf, dass ich die einmal mit dem minimalen wert und einmal mit dem maximalen wert berechne? also den absoluten fehler und relativen fehler habe ich von der "formel" her richtig berechnet nur falsche werte?