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Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion

\( g(x, y, z)=e^{z} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos y, \quad x, y \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \quad z \in \mathbb{R} \)

a) Der Gradient lautet

\( \nabla g(x, y, z)=e^{2}\left(\begin{array}{c} 2 \cos (2 x) \cos y \\ -\sin (2 x) \sin y \\ \sin (2 x) \cos y \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie alle(!) stationären Punkte von \( g(x, y, z) \).

b) Die Hessematrix lautet

\( H_{g}(x, y, z)=e^{2}\left(\begin{array}{ccc} -4 \sin (2 x) \cos y & -2 \cos (2 x) \sin y & 2 \cos (2 x) \cos y \\ -2 \cos (2 x) \sin y & -\sin (2 x) \cos y & -\sin (2 x) \sin y \\ 2 \cos (2 x) \cos y & -\sin (2 x) \sin y & \sin (2 x) \cos y \end{array}\right) \)

Stellen Sie fest, bei welchen stationären Punkten es sich um Maxima oder Minima handelt.

c) Berechnen Sie für \( g(x, y, z) \) das Taylorpolynom 2. Grades um den Entwicklungspunkt \( \left(\frac{\pi}{4}, 0,0\right) \).


Problem/Ansatz:

Ich komme auf die beiden stationären Punkte P1 = (0; pi/2; z) und P2 =  (pi/2; pi/2; z) mit z e ℝ.

Wenn ich diese in die Hessematrix einsetze komme ich für P1 auf x12 = -2 und x21 = -2, der Rest 0, bei P2 das gleiche mit+2

Das heißt dann doch das die Determinanten 0 sind, wie kann man so dann die Definitheit/Extremstellenart herausfinden?

vor von

Welches Kriterium verwendet Ihr denn. Ich würde als erstes versuchen, die Eigenwerte der Hesse-Matrix zu bestimmen.

Übrigens hast Du noch nicht alle stationären Punkte bestimmt.

Ich komme auf die Eigenwerte +- 2 und 0,
dann ist die Matrix indefinit und man hat einen sattelpunkt, oder?
Wobei die Angabe einem diese Option nicht gibt.

Welche Punkte hast du noch gefunden?
Schon mal Danke für die Hilfe!

Welche Punkte hast du noch gefunden?

Entschuldige, da war ich voreilig, hatte nicht auf den Definitionsbereich geschaut.

Allerdings bin ich jetzt unsicher, weil die gefundenen Punkte ja auf dem Rand des Definitionsbereichs liegen. Daher greift das Kriterium mit den Eigenwerten (zunächst) nicht. Und es ist dann auch die Frage, ob absolute oder relative Maxima oder Minima gefragt sind.

Wenn man direkt auf die Funktion schaut, sieht man, dass diese auf dem Definitionsbereich nichtnegativ ist, also ist 0 der kleinste Funktionswert und der wird ja in den Punkten P1 und P2 angenommen. Andererseits wachsen die Funktionswerte für \((\frac{\pi}{4},0,z)\) beliebig. Also gibt es kein (absolutes) Maximum.

Gruß Mathhilf

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