Orthogonale Projektion P

Question

Aufgabe: Zeigen sie, dass durch

P: R⁴ -> R⁴, (x1 x2 x3 x4)T -> 1/4 (x1+x2+x3+x4) (1 1 1 1)T

eine orthogonale Projektion definiert wird.

…

Problem/Ansatz:

Wie die Linearität und die Bedingung

P=P°P nachgewiesen werden, sodass man nachweist, dass es sich um eine Projektion handelt, weiß ich. Aber wie bestimme ich den Kern und das Bild? Und wie überprüfe ich, ob Kern und Bild senkrecht aufeinander stehen?

Ich hoffe mir kann jemand helfen! Schonmal vielen Dank im Voraus:)

Comments

Das sieht mir so aus, alssei es eine Abbildung von R⁴ nach R.

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Abbildung von R⁴ nach R.

(1 1 1 1)  ≠  1111

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faktor 1/4 ∑x_i vektor (1,1,1,1)^T ∈ R⁴

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Verstehe, siehe meine Lösung.

Answer 1

Ich nehme mal an, das ist so gemeint: Das Bild von $$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\ \end{pmatrix}$$ ist $$\frac{1}{4}\cdot \begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3+x_4\\x_1+x_2+x_3+x_4\\x_1+x_2+x_3+x_4\\x_1+x_2+x_3+x_4\\ \end{pmatrix}$$

Dann ist das Bild der von (1;1;1;1)^T erzeugte Unterraum von R⁴ und für ein Element

aus dem Kern muss gelten

$$x_1+x_2+x_3+x_4=0$$ 

Also sind das alle Elemente von R⁴ von der Form

$$\begin{pmatrix} -a-b-c\\a\\b\\c\\ \end{pmatrix}$$ 

mit a,b,c aus ℝ.

Und wenn du das Skalarprodukt eines Elementes vom

Kern mit einem vom Bild bildest, gibt es 0,

also sind die orthogonal.

Comments

Aber wie kommt ich auf das Bild und den Kern? Also man kann beides ablesen, aber das ist ja nicht bei jeder Abbildung der Fall oder?

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In diesem Fall kann man es in der Tat leicht ablesen.

In anderen Fällen muss man es (manchmal durch Lösen

eines lin. Gl. systems) bestimmen.

Für das Bild etwa so: Wie sehen die y's aus, wenn man f(x)=y betrachtet

und für den Kern: Wie sehen die x'e aus, wenn man f(x)=0 betrachtet