Normalform, wie lautet sie

Question

v(x)=-2xhoch2+6x-5

u(x)=xhoch2+4x+5

Wie lautet die Normalform der beiden Parabeln u(x) und v(x), die die gleichen Scheitelpunkte wie die Funktion u(x) und v(x) haben, aber in der entgegengesetzten Richtung geöffnet sind?

Die Schnittpunkte sind von u (-2/1)

 Die Schnittpunkte sind von v (1,5/0,5)

Answer 1

Hallo Lilli,

  gegeben :

  u ( x  )= x^2 + 4* x + 5

  S (  - 2 l 1 )  l Scheitelpunkt
  S ( y ) = 1

  Normalform mit umgekehrter Öffnung

  2 * S ( y ) - u ( x )
  2 -  ( x^2 + 4* x + 5 )

  v ( x  )= -2 * x^2 + 6 * x - 5

  S ( - 1.5 l - 0.5 ) l Entgegen deiner Angabe dürfte dies der Scheitelpunkt sein
  S ( y ) = -0.5

Normalform mit umgekehrter Öffnung
  2 * S ( y ) - v ( x )
  2 * (-0.5 ) - ( -2 * x^2 + 6 * x - 5 )

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Answer 2

Die Gleichungen sind genau gleich, außer dass das Vorzeichen vor dem x^2 getauscht wird.

Also:

v(x)= 2x^2 + 6x - 5

u(x)= -x^2 + 4x + 5

Answer 3

Ganz so einfach, wie HGF sich das gedacht hat, ist es dann doch nicht, wie man sich an folgendem Schaubild überzeugen kann, welches die Funktion

v ( x ) = - 2 x ² + 6 x - 5 

und die von HGF dazu angegebene "Gegen"funktion

v ( x ) = 2 x ²+ 6 x - 5

zeigt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+-2x%C2%B2%2B6x-5+%2C+2x%C2%B2%2B6x-5+from-2.5to3

 

Um die korrekte Funktion zu finden, muss man ein wenig rechnen (ich führe es an

v ( x ) = - 2 x ² + 6 x - 5 

vor:

Zunächst bestimmt man den Scheitelpunkt von v ( x ), etwa, indem man die Ableitung
v ' ( x ) bildet und diese gleich 0 setzt:

v ' ( x ) = - 4 x + 6 = 0

<=> 4 x = 6

<=> x = 1,5 => y = - 0,5

Der Scheitelpunkt von v ( x ) hat also die Koordinaten S ( 1,5 | - 0,5 )

Nun soll eine Funktion v * ( x ) gefunden werden, deren Graph denselben Scheitelpunkt wie v ( x ) hat und die auch dieselbe Form wie v ( x ) hat, allerdings nach oben geöffnet ist. Der Streckfaktor von v * ( x ) muss also 2 statt - 2  sein. Die  entsprechende Funktion findet man nun, indem man den Streckfaktor 2 und die Koordinaten des Scheitelpunktes S in die allgemeine Scheitelpunktform

f ( x ) = a ( x - xs ) ²  + ys

einsetzt. Man erhält:

v * ( x ) = 2 ( x - 1,5 ) ² - 0,5

Multiliziert man aus, erhält man die Normalform:

v * ( x ) = 2 ( x ² - 3 x + 2,25 ) - 0,5

<=> v * ( x ) = 2 x ² - 6 x + 4,5 - 0,5

<=> v * ( x ) = 2 x ² - 6 x + 4

Schaut man die Graphen von v ( x ) und v * ( x ) an, so erkennt man, dass v * ( x ) tatsächlich die gesuchte "Gegen"funktion von v ( x ) ist :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+-2x%C2%B2%2B6x-5+%2C+2x%C2%B2-6x%2B4+from-0to3

 

Auf dieselbe Weise geht man bei u ( x ) vor. Man erhält:

u * ( x ) = - x ² - 4 x - 3

Hier die Graphen von u ( x ) und u * ( x )

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B4x%2B5%2C-x^2-4x-3+

 

EDIT: Ich habe gerade noch einen einfacheren, etwas "trickigen"  Weg gefunden, die Gegenfunktion zu bestimmen. Ich führe es an

u ( x )  = x ² + 4 x + 5

vor:

Auch hier muss man zunächst den Scheitelpunkt finden, dieser ist S ( - 2 | 1 )

Nun verschiebt man die Funktion durch Subtraktion des y-Wertes des Scheitelpunktes von der Funktionsgleichung so, dass der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt. Zum Ausgleich muss man diesen Wert dann aber auch wieder addieren, also:

u ( x ) = ( x ² + 4 x + 5 - 1 ) + 1

<=> u ( x ) = ( x ² + 4 x + 4 ) + 1

Den Term in Klammern multipliziert man nun mit - 1. Dadurch spiegelt man die Parabel an der x-Achse, so dass sich also ihre Öffnungsrichtung umkehrt, der Scheitelpunkt aber weiterhin auf der x-Achse bleibt. Man erhält:

v * ( x ) = ( - x ² - 4 x - 4 ) + 1

Fasst man zusammen,ergibt sich:

v * ( x ) = - x ² - 4 x - 3

und das ist dieselbe Funktion, die ich ursprünglichen Ende meiner Antwort als "Gegen"funktion bereits genannt habe.schon genannt habe.