Basiswechsel Verständnisfrage

Question

Verständnisfrage zu der Basiswechselmatrix

Text erkannt:

\( B=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 2\end{array}\right)\right\} \)

Text erkannt:

\( B^{\prime}=\left\{\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\right\} \)

gesucht ist:

Text erkannt:

\( B_{B}^{B \prime} \) und \( B_{B^{\prime}}^{B} \)

Text erkannt:

\( B_{B}^{B \prime} \) und \( B_{B{\prime}}^{B} \)

Verständnisfragen:

1) Ist der Lösungsweg mit der Identitätsmatrix richtig (wie beim Invertieren)

Text erkannt:

\( \left\{B^{\prime} \mid B\right\}=\left\{\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right)\right\} \Rightarrow\left\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ 3 & 4\end{array}\right)\right\} \Rightarrow\left(\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ 3 & 4\end{array}\right) \)

 2) Wie liest man das? wäre die Lösung bei 1) ?

Text erkannt:

\( B_{B}^{B \prime} \) und \( B_{B^{\prime}}^{B} \)

 3) müssen die Matrizen beim Basiswechsel gleich sein und quadratisch sein?

 4) WIe ist das wenn es sich nicht zur Identitätsmatrix umformen lässt?

 5) Gibt es noch andere Lösungsmethoden zum Basiswechsel?

vg coffee.cup

Text erkannt:

\( B_{B}^{B \prime} \) und \( B_{B}^{B} \)

Answer 1

Aloha :)

Die Komponenten aller Vektoren sind bzgl. der Standardbasis \(S=\left(\binom{1}{0};\binom{0}{1}\right)\) gegeben. Daher kannst du sofort die Basiswechsel-Matrizen von \(B\) zur Standardbasis \(S\) und von \(B'\) zur Standardbasis \(S\) hinschreiben:$${_S}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 2\end{array}\right)\quad;\quad{_S}\mathbf{id}_{B'}=\left(\begin{array}{rr}2 & 1\\-1 & 0\end{array}\right)$$

Damit bekommst du nun die Basiswechsel-Matrix von \(B'\) nach \(B\):

$${_B}\mathbf{id}_{B'}={_B}\mathbf{id}_{S}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B'}=\left({_S}\mathbf{id}_{B}\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B'}=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\-\frac12 & \frac12\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}2 & 1\\-1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}2 & 1\\-\frac32 & -\frac12\end{array}\right)$$In die andere Richtung, also von \(B\) nach \(B'\) geht es mit der Inversen:$${_{B'}}\mathbf{id}_{B}=\left({_B}\mathbf{id}_{B'}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -2\\3 & 4\end{array}\right)$$Du erkennst deine Lösung wieder ;)