Sei V ein ℚ -Vektorraum, φ ∶ V → V additiv. Zeigen Sie, dass φ ℚ -linear ist.

Question

Sei $V$ ein $\mathbb{Q}$ Vektorraum, und sei $\varphi: V \rightarrow V$ additiv, d.h. es gelte $(u+v) \varphi=u \varphi+v \varphi$ für alle $u, v \in V$. Zeigen Sie, dass $\varphi$ dann schon $\mathbb{Q}$ -linear ist.

Answer 1

Es ist $$\varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0) \Rightarrow \varphi(0)=0$$. Per Induktion gilt damit für alle natürlichen Zahlen n: $$\varphi(nv)=n\varphi(v)$$ und \varphi(-nv)=-n\varphi(v)$$. Ferner gilt für natürliche m, dass$$ \varphi(\frac{1}{m} v)=\frac{1}{m}\varphi(v)$$, denn$$v=\varphi(1\cdot v)=\varphi(\frac{m}{m} v)=m \varphi\frac{1}{m} v)$$. Damit die Behauptung.

Comments

Es ist $\varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0) \Rightarrow \varphi(0)=0$
Per Induktion gilt damit für alle natürlichen Zahlen $n: \varphi(n v)=n \varphi(v)$ und $\rho(-n v)=-n \varphi(v)$. Ferner gilt für natürliche $m$, dass $\varphi\left(\frac{1}{m} v\right)=\frac{1}{m} \varphi(v)$, denn $\left.v=\varphi(1 \cdot v)=\varphi\left(\frac{m}{m} v\right)=m \varphi \frac{1}{m} v\right) \$ \$$.

Damit die Behauptung

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$\varphi(-nv)=-n\varphi(v).$

Ferner gilt für natürliche m, dass $\varphi(\frac{1}{m} v)=\frac{1}{m}\varphi(v),dennv=\varphi(1\cdot v)=\varphi(\frac{m}{m} v)=m \varphi\frac{1}{m} v)$