Berechnung des Inversen

Question

Aufgabe:

Berechne das Inverse der Matrix (2,-1,-1);(1,2,1);(-1,2,1)

Comments

Hast du denn schon einmal selbst so etwas gerechnet?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Schreibe neben die zu invertierende Matrix eine Einheitsmatrix. Bringe dann die linke Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf die Form einer Einheitstrix und führe alle dazu notwendigen Schritte auch an der rechten Matrix durch:

$$\begin{array}{rrr|rrr|l}2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & -\text{Zeile 3}\\-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 &+\text{Zeile 1}\\\hline2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 &-\text{Zeile 2}\\2& 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & \colon2\\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 &-\frac12\cdot\text{Zeile 2}\\[0.5ex]\hline0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 &+\text{Zeile 3}\\1& 0 & 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 &\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & 1 & -\frac12 & \frac32 &\\[0.5ex]\hline0 & 0 & -1 & 2 & -\frac32 & \frac52 &\cdot(-1)\\[0.5ex]1& 0 & 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 &\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & 1 & -\frac12 & \frac32 &\\[0.5ex]\hline0 & 0 & 1 & -2 & \frac32 & -\frac52 &\text{als letzte Zeile schreiben}\\[0.5ex]1& 0 & 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 &\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & 1 & -\frac12 & \frac32 &\\[0.5ex]\hline1& 0 & 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 &\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & 1 & -\frac12 & \frac32 &\\[0.5ex]0 & 0 & 1 & -2 & \frac32 & -\frac52\end{array}$$Die rechte Matrix ist nun die Inverse ;)

Comments

Danke dir ;)

Answer 2

Beginne mit

2   -1    -1    1   0    0   
1    2    1     0    1    0
-1   2    1     0     0    1

und wende Gauss an, bis links die

Einheitsmatrix steht, dann steht rechts die

Inverse der gegebenen Matrix.

Müsste geben

1   0    0     0    0,5    -0,5  
0   1    0     1   -0,5    1,5
0   0    1     -2   1,5    -2,5