Verständnisproblem zur Formel der stochastischen Unabhängigkeit

Question

Guten Tag,

ich habe eine Frage zur Formel der stochastischen Unabhängigkeit:

Text erkannt:

$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$

Ich verstehe die Formel bis auf das umgedrehte: "U". Was bedeutet dies und was muss ich laut diesem Zeichen mit den beiden Werten A und B in der Rechnung machen?

LG

Answer 1

Das ist die Schnittmenge von A und B. Runtergebrochen bedeutet das: Du musst schauen, was A und B gemeinsam haben/vereinbaren.

Beispiel:

A={1,2,3}

B={3}

A∩B= {3}

Liebe Grüße :)

[Die Wahrscheinlichkeit habe ich aus didaktischen Gründen nicht in Betracht gesetzt]

Comments

Wenn jetzt beispielsweise A=2 und B=10 ist, was ist es dann? Ich sehe hier keine Gemeinsamkeiten

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Richtig. Es gibt also keine Schnittmenge: A∩B={ }    (leere Menge)

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Das heisst, wenn es keine Schnittmenge gibt, ist es stochastisch unabhängig?

Answer 2

Aloha :)

Das Symbol "$\cap$" kommt aus der Mengenlehre. Die Menge $A\cap B$ enthält alle Elemente, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind. Angenommen, du hast zwei Ereignisse, dann kannst du deren möglichen Ausgänge in den Mengen $A$ und $B$ bündeln. Wenn du nun die Wahrscheinlichkeit $P(A\cap B)$ bestimmen möchtest, dass beide Ereignisse zugleich eintreten, hast du zwei Möglichkeiten.

1) Zuerst tritt $A$ ein, danach tritt $B$ ein.$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$Dabei ist $P(B|A)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $B$ eintritt, wenn $A$ bereits eingetreten ist.

2) Zuerst tritt $B$ ein, danach tritt $A$ ein:$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$Dabei ist $P(A|B)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, wenn $B$ bereits eingetreten ist.

Bei statistisch unabhängigen Ereignissen ist $P(A|B)=P(A)$ und $P(B|A)=P(B)$. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für das eine Ereignis ändert sich nicht, auch wenn man weiß, dass das andere Ereignis bereits eingetreten ist. Bei unabhängigen Ereignissen gilt daher:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$