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Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktionsschar: f(x)= -1/3x^3 + tx^2- (t^2)*x + x

Nun soll man zeigen, dass die Wendetangenten zueinander parallel sind und, dass der Abstand des Hochpunkts vom Wendepunkt bei allen Schaubildern gleich ist.
Problem/Ansatz:

Das alle Wendetangenten parallel sind hab ich schon mithilfe der dritten Ableitung gezeigt (unabhängig von t)

Allerdings weiß ich nicht, wie ich den Hochpunkt bestimmen soll, um den Abstand zu berechnen

Für den Wendepunkt hab ich (t | -1/3t^3 + t)

Wäre dankbar für jegliche Hilfe / Ansätze

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hab die Frage bearbeitet: Es sollte (t^2)*x und nicht t^2x sein

1 Antwort

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Der Wendepunkt einer Polynomfunktion dritten Grades, die Extrema hat, liegt immer in der Mitte zwischen den Extrempunkten.

Wendepunkt ist bei dir richtig. Ein Extremum (t+1|-\( \frac{t^3-3t+2}{3} \). Abstand \( \frac{√13}{3} \).

Avatar von 123 k 🚀

Lösung wurde ergänzt.

Hier der Rechenweg zu den Extremstellen:

\(f'(x)=0\\-x^2+2tx-t^2+1=0\\x^2-2tx+t^2-1=0\\ x_{1,2}=t\pm\sqrt{t^2-t^2+1}\\ x_{1,2}=t\pm1\\ \text{Hochpunkt bei }x=t+1\)

danke euch beiden, hab net daran gedacht die PQ-Formel zu benutzen, aber jetzt ist es mir klar

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