Wieso steht hier 2*lim 0?

Question

Aufgabe:

https://imgur.com/a/c6qQzO3

$\sqrt{x+2}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} \Rightarrow$

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}\\ =\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}\\=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{x}\\=2 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} 0 \\=0$

Problem/Ansatz:

Wieso steht hier am Ende 2*lim 0

und wieso steht davor 2/x? woher kommt das X im Nenner?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Die Texte sind eingegeben, die Formeln sind sogar gelatext.

Answer 1

Aloha :)

Irgendein Clown hat die Rechnung in der falschen Reihenfolge aufgeschrieben, deswegen bist du verwirrt. Zusätzlich wurde mit dem $\frac2x$ auch ein Fehler eingebaut.$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt x\right)\left(\sqrt{x+2}+\sqrt x\right)}{\sqrt{x+2}-\sqrt x}$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x+2)-x}{\sqrt{x+2}-\sqrt x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$$Soweit wurde die obere Gleichungskette verwendet. Wir stellen fest, dass der Term immer positiv ist. Wir haben also eine untere Grenze $0$ für den Grenzwert. Wir müssen den Grenzwert nun noch nach oben abschätzen. Ein Bruch wird größer, wenn sein Nenner kleiner wird, daher können wir $\sqrt{x+2}$ im Nenner durch $\sqrt x$ ersetzen und abschätzen:$$<\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt x+\sqrt x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{2\sqrt x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt x}\to0$$Da der Term immer positiv ist, muss der Grenzwert also $0$ sein.

Die Abschätzung in der Aufgabe mit $\frac1x$ ist eine nach unten, denn für $x>6$ gilt:$$x^2>4x+8\implies x^2>4(x+2)\implies x>2\sqrt{x+2}=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}\implies$$$$x>\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\implies\frac1x<\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$$In der vorgegebenen Lösung wurde also verwendet, dass für $x>6$ bzw für $x\to\infty$ gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0$$Wir erfahren also nur, was wir eh schon wussten, dass nämlich eine untere Grenze für den Grenzwert $0$ ist. Die Abschätzung nach oben fehlt in der Musterlösung.

Comments

Irgendein Clown hat die Rechnung in der falschen Reihenfolge aufgeschrieben,

Ich habe die Rechnung mal sortiert.