Parabeln, Funktionen, Differentialrechnung

Question

Aufgabe:

Zeichnen Sie den Graphen von f: x↦1/2x²+1/2x-3/2|x|

Ergebnis: f1: x↦1/2x²-x und f2: x↦1/2x²+2x

Diesen Teil verstehe ich und ich komme auf diese Lösung. Das Problem ist bei der Zeichnung. Es sind beides Parabeln und ich verstehe nicht wie ich auf S1(1,-1/2) und S2(-2,-2) kommen soll. Im Buch steht mit Nullstellen und Scheitels, kann mir jemand die Schritte erklären für die S.

Danke

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}-\frac32|x|=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{2}-x&\text{für }x\ge0\\[1ex]\frac{x^2}{2}+2x&\text{für }x<0\end{array}\right.$$Bis dahin, schreibst du, bist du gekommen.

Jetzt kannst du die beiden Darstellungen in die Scheitelpunktform bringen. Dazu klammerst du den Vorfaktor aus:$$\frac{x^2}{2}-x=\frac12\left(x^2-2x\right)\quad;\quad\frac{x^2}{2}+2x=\frac12\left(x^2+4x\right)$$Dann nimmst du die Zahl vor dem $x$, halbierst diese und quadierst sie danach. Das Vorzeichen ist egal, es fällt durch das Quadrieren weg. Im ersten Fall wird aus der $2$ dann $\left(\frac22\right)^2=1$. Im zweiten Fall wird aus der $4$ dann $\left(\frac42\right)^2=4$. Dies nennt man die "quadratische Ergänzung". Diese baust du nun in die Klammer ein, indem du sie addierst und direkt wieder subtrahierst (sonst würde sich ja der Wert ändern):$$\frac12(x^2-2x+\underbrace{1-1}_{=0})\quad;\quad\frac12(x^2+4x+\underbrace{4-4}_{=0})$$Jetzt ziehst du den letzen Summanden aus der Klammer raus:$$\frac12(x^2-2x+1)-\frac12\quad;\quad\frac12(x^2+4x+4)-2$$und kannst nun die Klammer mit Hilfe einer binomsichen Formel als Quadrat schreiben:$$\frac12(x-1)^2-\frac12\quad;\quad\frac12(x+2)^2-2$$Damit lautet unsere Funktion in der Punkt-Scheitel-Form:$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac12(x-1)^2-\frac12&\text{für }x\ge0\\[1ex]\frac12(x+2)^2-2&\text{für }x<0\end{array}\right.$$

Du kannst nun die beiden Scheitelpunkte bequem ablesen:

$$S_1\left(1\bigg|-\frac12\right)\text{ für }x\ge0\quad;\quad S_2\left(-2\bigg|-2\right)\text{ für }x<0$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = x²/2+x/2-3/2·abs(x)P(-2|-2)P(1|-0,5)

Comments

DANKE!

Kurze Frage, was meinst du mit bequem ablesen? checke immer noch nicht so ganz wie du auf die Scheitelpunkte kamst. Hast du eine Formel angewendet? x eingesetzt?

irgendwie von der Grafik abgelesen?

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Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen: Die Funktion

        $f(x) = a(x-d)^2 + e$

hat den Scheitelpunkt $(d| e)$.

Das liegt daran, dass $n(x) = x^2$ den Scheitelpunkt bei $(0|0)$ hat und $f$ aus $n$ hervorgeht mittels folgender Transformationen

1. Horizontale Verschiebung um $d$
2. Streckung mit dem Streckfaktor $a$
   
3. Vertikale Verschiebung um $e$
   

Answer 2

$f=f_2$ auf dem Intervall $(-\infty,0)$ und

$f=f_1$ auf dem Intervall $[0,\infty)$.

Also $f(1)=f_1(1)=1/2-1=-1/2$ und $f(-2)=f_2(-2)=2-4=-2$.