Tschebyscheff-Ungleichung (Anzahl von Sitzplätzen, damit zu 95% alle einen Platz erhalten)

Question

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht so ganz weiß wie ich vorgehen und ich sie lösen soll:

In einem Ort gebe es zwei Kinos, deren Vorstellungen von insgesamt 1000 Leuten besucht werden. Jeder Besucher entscheidet sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit für eines der Kinos.
Sei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Besucher in Kino 1 angibt.

Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine Abschätzung für die Zahl der Sitzplätze, die Kino 1 mindestens haben muss, damit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit alle Besucher einen Platz bekommen.

Damit ergibt sich ja $X\sim \text{Bin}\left(1000, \frac{1}{2}\right)$ und somit $\mathbb E (X)=500$ und $\text{Var}(X)=250$.

Die Tschebyscheff-Ungleichung lautet

$$P(|X-\mathbb E(X)|\geq \epsilon)\leq \frac{\text{Var(X)}}{\epsilon^2}$$

Für weitere Schritte bräuchte ich Hilfe! Ich denke hier soll $\epsilon$ berechnet werden, jedoch erhalte ich dafür Werte, die nicht mit dem vorgegebenen Ergebnis übereinstimmen...

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal E für den Erwartungswert, V für die Varianz. Für die gesuchte Anzahl an Sitzen schreibe ich: E+h.

Dann ist h so zu bestimmen, dass $P(X \geq E+h) \leq 0.05$. Der Schlüssel zur Anwendung der T-Ungleichung ist, dass die Verteilung von X symmetrisch zum Erwartungswert ist, also

$$P(X-E \geq h)=P(X-E \leq -h)$$

Daher:

$$P(X-E \geq h)=0.5P (|X-E| \geq h) \leq 0.5 \frac{V}{h^2} \leq 0.05 !$$

Dafür muss gelten : $h \geq 50$. Also braucht man 550 Sitze.

Gruß Mathhilf