Steigung der Tangente, Funktionen, Ableitung

Question

Aufgabe:

Die Steigung der Tangente des Graphen von f(x)=4x³-ax²+5x-8 im Punkt P(2/..) beträgt das 4-Fache der Steigung der Tangente im Punkt Q(0/..). Berechne a.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand Schritt für schritt erklären was ich machen soll. Ich weiss, dass die ableitung eingesetzt wird, aber diese P(2/..) und bei Q diese ".." verwirren mich. Was wird mit diesen 2 kleinen Punkten gemeint? und wie löse ich diese Aufgabe

Answer 1

Aloha :)

Wir kennen eine Funktion$$f(x)=4x^3-ax^2+5x-8$$und wissen, dass für ihre Ableitungen gilt:$$f'(2)=4\cdot f'(0)$$Daraus sollen wir \(a\) bestimmen. Da wir nichts anderes haben, setzen wir einfach mal ein:$$\left.f'(2)=4\cdot f'(0)\quad\right|\text{Funktion einsetzen}$$$$\left.\left(4x^3-ax^2+5x-8\right)'_{x=2}=4\cdot\left(4x^3-ax^2+5x-8\right)'_{x=0}\quad\right|\text{Ableitung bilden}$$$$\left.\left(12x^2-2ax+5\right)_{x=2}=4\cdot\left(12x^2-2ax+5\right)_{x=0}\quad\right|\text{\(x\)-Werte einsetzen}$$$$\left.48-4a+5=4\cdot5\quad\right|\text{zusammenfassen}$$$$\left.53-4a=20\quad\right|+4a-20$$$$\left.33=4a\quad\right|\colon4$$$$a=\frac{33}4$$

Answer 2

Die Steigung der Tangente des Graphen von f(x)=4x³-ax²+5x-8 im Punkt P(2/..)

\(f'(2)\)

beträgt

\(=\)

das 4-Fache

\(4\cdot\)

der Steigung der Tangente im Punkt Q(0/..)

\(f'(0)\)

Löse die Gleichung

Was wird mit diesen 2 kleinen Punkten gemeint?

Die y-Koordinate des Punktes P ist für die Aufgabe nicht relevant.