Abbildungen/Funktionen - Bijektiv, Identität

Question

Aufgabe:

1) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f: ℝ→ℝ an, die bijektiv, aber nicht die Identität ist.

2) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f: ℝ→ℝ an, die subjektiv, aber nicht die Identität und nicht injektiv ist.

Problem/Ansatz:

1) Hier dachte ich an folgende Funktion:

f(x) = { 2 falls x = 1, 1 falls x = 2, x sonst - ist dies korrekt?

2) Dieses Beispiel ist von mir selbst ausgedacht (zu Übungszwecken). Gibt es dafür eine Funktion? Mir fällt es schwer eine zu finden.

Answer 1

Hallo :-)

1.) stimmt.

2.) \(f:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, \ x\mapsto x^3-x\) ist zb so ein Kandidat. Wegen \(f(-1)=0=f(1)\) ist \(f\) schonmal nicht injektiv. Nun sei \(y\in \mathbb{R}\) beliebig und betrachte die Gleichung \(y=x^3-x\). Hier liegt eine kubische Gleichung vor, die sich mit den sogenannten cardanischen Formeln lösen lässt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Damit ist \(f\) surjektiv.

Ansosnten kannst du auch sowas betrachten:

\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, \ x\mapsto \begin{cases}x+3,\quad x<-3\\0,\qquad -3\leq x<5\\x-5,\quad 5\leq x\end{cases}\)

Comments

Vielen Dank!