Was ist ein Isomorphismus

Question

Hallo, ich habe eine Definition in meinem Skript.

Dort steht, dass ein Homomorphismus ein Isomorphismus ist, wenn er bijektiv ist.

Ich kann mir allerdings rein gar nichts drunter vorstellen..

Kann mir jemand mit einem Beispiel und einer kurzen Erklärung auf die Sprünge helfen?

Liebe Grüße

Comments

Hallo

um welches Gebiet handelt es sich denn?

lul

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Hallo, es handelt sich um Gruppen :)

Answer 1

Hallo :-)

ein Gruppenhomomorphismus $f: G \to H$ erfüllt zunächst $f(g_1*g_2)=f(g_1)\circ f(g_2)$ für alle $g_1,g_2\in G$. Das gilt zb für diese Abbildung:

$f:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R}_{>0},\ x\mapsto e^x$.

Dabei ist hier $G:=\mathbb{R}$ und $H:=\mathbb{R}_{>0}$, wobei auf $G$ die Addition als Verknüpfung und auf $H$ die Multiplikation als Verknüpfung definiert ist. In Kurzform also $(G,+)$ und $(H,\cdot )$. Diese beiden Grundmengen bilden dann mit den erklärten Verknüpfungen eine Gruppe.

Es gilt nämlich für alle $a,b\in \mathbb{R}$ die Eigenschaft

$\underbrace{f(a+b)}_{\in H}=e^{a+b}=e^a\cdot e^b=\underbrace{f(a)}_{\in H}\cdot \underbrace{f(b)}_{\in H}$.

$f$ ist nun sogar ein Gruppenisomorphismus, da es eine Inverse (einen Gruppenhomomorphismus) $g:\ \mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R}$ gibt, mit

$f\circ g=id_{\mathbb{R}_{>0}}(=id_H)$ und $g\circ f=id_{\mathbb{R}}(=id_G)$. Dies erfüllt $g(x)=\ln(x)$, der natürliche Logarithmus.

Diese beiden Eigenschaften $f\circ g=id_{\mathbb{R}_{>0}}(=id_H)$ und $g\circ f=id_{\mathbb{R}}(=id_G)$ sind dazu äquivalent, dass $f$ eine bijektive Abbildung ist.