Wachstum/Zerfall: Nach welcher Zeit hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht?

Question

Bei einer Baktierenkuktur sind zu Beginn einer Beobachtung 6000 Bakterien vorhanden. Dabei ist bekannt, dass sich bei diesen Bakterien die Anzahl in 40 Minuten verdreifacht.

a. Berechne die Anzahl der Bakterien 3 Stunden nach beobachtungsbeginn

b. Nach welcher Zeit hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht?

Answer 1

Formel für exponentielles Wachstum ("Zinseszinsformel")

K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) ^t

Dabei ist

K ( 0  )  das Anfangskapital (bei der vorliegenden Aufgabe die 6000 Bakterien)

t die Anzahl der Perioden (hier:  Minuten)

K ( t ) das Kapital nach t Perioden

p : der Zins, also die Zuwachsrate in Prozent. Diese ist als Dezimalzahl zu schreiben. Ein Zns von 5 % muss also als p = 0,05 geschrieben werden.

 

Zur Aufgabe:

Es soll gelten

3 * K ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) ⁴⁰

<=> 3 = ( 1 + p ) ⁴⁰

<=> 1 + p = ⁴⁰√ ( 3 )

<=> p = ⁴⁰√ ( 3 ) - 1 = 0,0278 (gerundet)

 

Nun da man die Zuwachsrate kennt, kann man die Aufgabenteile lösen:

a) K (180) = 6000 * ( ⁴⁰√ ( 3 ) ) ¹⁸⁰ = 841777

 

b) 60000 = 6000 * ( ⁴⁰√ ( 3 ) ) ^t

<=> 10 = ( ⁴⁰√ ( 3 ) ) ^t

<=> log ( 10 ) = t * log ( ⁴⁰√ ( 3 ) )

<=> t = log ( 10 ) / log ( ⁴⁰√ ( 3 ) )

<=> t = 83,836 Minuten

Answer 2

 

Bei einer Baktierenkultur sind zu Beginn einer Beobachtung 6000 Bakterien vorhanden.

f(0) = 6000

 

Dabei ist bekannt, dass sich bei diesen Bakterien die Anzahl in 40 Minuten verdreifacht.

f(2/3) = 6000 * 3

Nach 120 Minuten hat sich die Anzahl ver27facht:

f(2) = 6000 * 27

 

f(t) = 6000 * x^t

f(2) = 6000 * x² = 6000 * 27

x² = 27

x ≈ 5,1961524227

 

Probe:

f(0) = 6000 * 5,1961524227⁰ = 6000

f(2/3) = 6000 * 5,1961524227^2/3 = 6000 * 3 = 18000

Also:

f(t) = 6000 * 5,1961524227^t

 

a. Berechne die Anzahl der Bakterien 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn

f(3) = 6000 * 5,1961524227³ ≈ 841.777

 

b. Nach welcher Zeit hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht?

f(t) = 6000 * 5,1961524227^t = 60.000

5,1961524227^t = 10 | ln(10)/ln(5,1961524227)

t ≈ 1,3972688495

Probe:

5,1961524227^1,3972688495 = 10

 

Nach ca. 1,397 Stunden hat sich die Anzahl verzehnfacht.

 

 

Besten Gruß