Wie ist die weitere Bedingung

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet den Graphen von g(x) =1/2(4x^3+ x) im Ursprung senkrecht. Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x = 1. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Problem/Ansatz:

Ansatz ist ja f(x)= ax^3+cx

Bedingungen habe ich nur f(1)=2,5

Ich brauche aber noch ein weitere Bedingung um die Aufgaben weiter zu lösen.

Ich finde es aber nicht.

Danke im voraus

Comments

Ansatz ist ja f(x) = ax^{3}+cx

Ja, das ist richtig. Die Bedingung

schneidet den Graphen von g(x) = 1/2(4x^3+ x) im Ursprung senkrecht.

gibt indirekt die Steigung der Tangente an f in x=0 an. Das ist hier c. Setze also $$c = -\dfrac{1}{g'(0)}$$ in den Ansatz ein und bestimme mit der anderen Bedingung das noch fehlende a.

PS: Fehlenden Ableitungsstrich ' ergänzt.

Answer 1

schneidet den Graphen von g(x) =1/2(4x3+ x) im Ursprung senkrecht.

Answer 2

Senkrecht im Ursprung bedeutet, dass die Tangenten orthogonal zueinander stehen.

Dafür gilt die Bedingung f'(0)*g'(0)=-1.

:-)

Answer 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist
punktsymmetrisch zum Ursprung

f ( x ) = a*x^3 + b*x + c
f ( 0 ) = 0   => c = 0
f ( x ) = a*x^3 + b*x

g(x) =1/2(4x^3+ x)
Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x = 1
g ( 1 ) = f ( 1 ) = 2.5
( 1 | 2.5 )

und schneidet den Graphen von im Ursprung senkrecht..
g ´( x ) = 1/2 * ( 12 * x^2 + 1 )
g ´( 0 ) = 1/2
Wenn sich 2 Geraden senkrecht schneiden gilt
für die Steigungen
m1 = - 1/m2
m1 = -1/(1/2) = -2
f´( 0 ) = -2

f ( 1 ) = 2.5
f´( 0 ) = -2

Zur Kontrolle
f ( x ) = 4.5 * x^3 - 2 *b

Frag nach bis alles klar ist.

Comments

f ( x ) = a*x^{3} + b*x + c
f ( 0 ) = 0  => c = 0
f ( x ) = a*x^{3} + b*x

Die ersten beiden Zeilen sind überflüssig, denn der Ansatz in der dritten Zeile folgt bereits aus der vorgegebenen Symmetrie des Grafen zum Ursprung, was der Frager bereits wusste.