Vollständige Induktion Reihen Logarithmus

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k*ln(\frac{k+1}{k})} \) = (n+1)ln(n+1)-ln((n+1)!)

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang ist soweit klar mit n=1.

Nun geht es los mit der Induktionsannahme:

1) Sei n so dass \( \sum\limits_{k=1}^{n-1}{k*ln(\frac{k+1}{k})} \) = n*ln(n)-ln((n)!)

--> Zwischenfrage: Ich selbst wäre nicht auf den Trick gekommen, hier n-1 zu verwenden. Kann ich davon ausgehen, dass meistens wenn in der Gleichung schon n+1 durchweg vorkommt, dass ich hier eine Verschiebung durchführe?

2) Damit \( \sum\limits_{k=1}^{n}{k*ln(\frac{k+1}{k})} \) = n*ln(n)-ln(n!) + n*ln(\( \frac{n+1}{n} \))

= n*ln(n) - ln(n!) + n*ln(n+1) - n*ln(n)

= - ln(n!) + (n+1)*ln(n+1) - ln(n+1) ***

= (n+1)*ln(n+1)-ln((n+1)!)

*** Wie kommt man auf diesen Teil? Welche Umstellungsschritte wurden hier vollzogen?

Answer 1

Hallo,

= - ln(n!) + (n+1)*ln(n+1) - ln(n+1) ***

*** Wie kommt man auf diesen Teil?

Im Detail:$$\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{n} k\cdot \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) &= \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cdot \ln\left(\frac{k+1}{k}\right)+ n\cdot \ln\left( \frac{n+1}{n} \right)\\ &= n\cdot \ln(n)-\ln(n!) + n\cdot \ln\left( \frac{n+1}{n} \right)\\ &= n\ln(n)-\ln(n!) + n (\ln(n+1) - \ln(n))\\ &= n\ln(n)-\ln(n!) + n \ln(n+1) - n\ln(n) \\ &= -\ln(n!) + n \ln(n+1) \\ &= -\ln(n!) + (n{\color{red}+1-1}) \ln(n+1) \\ &= -\ln(n!) + (n+1)\ln(n+1) -\ln(n+1)\\ &=  (n+1)\ln(n+1) -(\ln(n!) + \ln(n+1))\\ &= (n+1)\ln(n+1) -\ln(n!\cdot (n+1) \\ &= (n+1)\ln(n+1) -\ln((n+1)!) \end{aligned}$$alles klar?