Wie kommt man auf diese Eigenwerte?

Question

\( p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)=(4-\lambda)^{2}+4 \)
woraus man direkt die beiden Eigenwerte
\( \lambda_{1 / 2}=4 \pm 2 \mathrm{i} \)

ablesen kann.

Wie komme ich auf diese EW?

Comments

Den Eigenwert bestimmt man normalerweise, indem man die Determinante als Gleichung gleich null setzt. Also in dem Fall hier. (4-λ)² + 4 = 0. Und die Gleichung mit unbekannte λ löst. Der Rest hat was mit Komplexen Zahlen zu tun, ich gehe aber davon aus, dass du das schon mal gemacht hast. Gruß Mark.

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Soweit so klar, aber wieso Komplex? Wenn ich das runter rechne wird das bei mir nicht komplex

Answer 1

Du rechnest:

(4-x)^2+4=0 ×=lamda

(4-x)^2=-4

4-x=Wurzel von -4= +-2i

-x=-4+-2i

x=4+-2i

also

x1=4+2i und x2=4-2i.

Wenn du z.B. x1 einsetzt: bekommst du:

(4-4+2i)^2+4=(2i)^2+4=4i^2+4=-4+4=0

mit x2 sollte das auch funktionieren

Answer 2

Man kommt auf die Eigenwerte indem man die Gleichung \(p_A(\lambda) = 0\) löst.