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Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben seien der Vektorraum } \mathbb{R}_{ \leq 2}[x], \text { die lineare Abbildung } L : \mathbb{R}_{ \leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{ \leq 2}[x], \text { sowie }} \\ {\text { die folgenden Bilder von } L :} \\ {L\left(x^{2}-2 x\right)=8 x^{2}-2 x+10, \quad L\left(x^{2}+1\right)=-4 x^{2}-4, \quad L(x-2)=-2 x+2}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { (a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbil- }} \\ {\text { dung L. }} \\ {\text { Hinweis: Sie können diesen Teil durch scharfes Hinsehen und geschicktem Argumen- }} \\ {\text { tieren lösen! }}\end{array} $$

$$ \begin{array}{c}{\text { (b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix } L_{\mathcal{B}} \text { von } L \text { bzgl. der Basis }} \\ {\mathcal{B}=\left\{b_{1} :=x^{2}-2 x, b_{2} :=x^{2}+1, b_{3} :=x-2\right\}}\end{array} $$

(c) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von L


Problem/Ansatz:

(a)
Hier sieht man recht schnell:
L(x^2+ 1) = -4*(x^2+1) => EW_1 = -4
Aber die anderen zwei kann man doch nicht so einfach sehen, oder wie muss ich genau schauen? Ich würde ja fast schon sagen, dass L(x^2-2x) und L(x-2) den Eigenwert Null haben, allerdings kann ich es nicht Begründen, könnte ihr mir da helfen?

(b)

Hier frage ich mich ob es simpler gehen könnte? Denn ich habe alleine 20 Minuten für die Rechnung benötigt und ich glaube nicht dass es der Sinn der Sache war.
Ich habe hier die Linearkombination von den einzelnen L(...) bezüglich der Basiselemente aufgestellt und konnte dann die Darstellende Matrix ablesen, bzw die Koordinatenvektoren bilden die Spalten der darstellenden Matrix.
(Die Linearkombination von -4x^2-4 konnte man natürlich auch leicht sehen, die anderen wiederum mussten berechnet werden, denke ich?)
Hier die darstellende Matrix: 

$$ \left( \begin{array}{rrr}{0} & {\frac{2}{5}} & {\frac{2}{5}} \\ {-4} & {-\frac{2}{5}} & {\frac{38}{5}} \\ {0} & {-\frac{6}{5}} & {-\frac{6}{5}}\end{array}\right) $$

(c)

Nun Frage ich mich wieder ob es einfacher geht, denn auch hier habe ich fast 15 Minuten benötigt.
Das charakteristische Polynom berechnet sich aus
det(LB-zI_4) also der darstellenden Matrix - der Einheitsmatrix *z..
Es folgt damit:

$$ \left( \begin{array}{rrr}{0-z} & {\frac{2}{5}} & {\frac{2}{5}} \\ {-4} & {-\frac{2}{5}-z} & {\frac{38}{5}} \\ {0} & {-\frac{6}{5}} & {-\frac{6}{5}-z}\end{array}\right) $$

Nun folgt das ewige Ausrechnen und dabei kommt man auf:
$$ p(z)=-\frac{1}{5}(56 z)-\frac{1}{5}\left(8 z^{2}\right)-z^{3} $$

Und dies ist das charakteristische Polynom.

Nun hat die ganz Aufgabe mich fast 40 Minuten gekostet und ich frage mich waren die ganzen Rechnungen nötig? Denn es ist eine von 6 Klausuraufgabe und  man hat nur 90 Minuten zeit.

von

Z.B. gilt nach meinen Berechnungen \(L(x^2-2x)+2L(x^2+1)-L(x-2)=0\). Damit wäre \(3x^2-3x+4\) ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.

1 Antwort

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Dies hier:

L(x^{2}+ 1) = -4*(x^{2}+1) => EW_1 = -4

Ist doch gut und funktioniert mit den anderen auch so.

von 17 k

Hallo az0815,
dass denke ich auch, nur sehe ich es leider nicht, ich müsste dafür erst ewig rechnen.

Keine Ahnung wie man die Eigenwerte von
L(x^2-2x) = 8x^2-2x+10   und

L(x-2) = -2x+2

sofort sehen sollte.
Bei L(x-2) = -2x+2 müsste ich irgendwie die  -2x+2 auf  x-2 + Faktor bringen, aber ich habe keine Idee.

Man kann (-2) ausklammern:

L(x-2) = -2x+2 = -2*(...)

Beim ersten Vektor ist das leider doch nicht ganz so einfach.

Man kann (-2) ausklammern:

L(x-2) = -2x+2 = -2*(...)


Also muss man nicht auf x-2 + Faktor kommen?


Beim ersten Vektor ist das leider doch nicht ganz so einfach.

Ja, aber wie geht man dann am besten vor?

Also muss man nicht auf x-2 + Faktor kommen?

Eigentlich schon. Ich habe mich beim Ausklammern vertan! :-(

:) Kein Problem.


Also die Bilder sind ja nicht linear unabhängig, wenn ich es richtig sehe, denn 
8x^2-2x+10 = -2*(-4x^2-4) +1*(-2x+2)
und

-2x+2 = 1*(8x^2-2x+10) + 2*(-4x^2-4)

Gibt es dann nicht noch die 0 als Eigenwert?
Genau kann ich es mir gerade nicht erklären, aber vlt du?



Wenn die Vektoren (Spalten/Zeilen) linear abhängig sind, dann ist 0 ein Eigenwert  aller Vektoren im Kern ohne den trivialen Nullvektor.

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