Schnittpunkt zweier Tangenten

Question

Aufgabe:

Die Tangente \( t_{L_{4}} \) an den Graphen von \( f_{a} \) im Punkt \( \left(\frac{5}{a} \mid \frac{5}{2 a^{3}}\right) \) hat die Steigung \( \frac{1}{a^{2}} \), die Tangente \( t_{0} \) an den Graphen von \( g_{0} \) im Punkt \( \left(\frac{5}{a} \mid g_{0}\left(\frac{5}{a}\right)\right) \) hat die Steigung \( \frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}} \), sie wird durch die Gleichung \( t_{0 .} \) : \( y=\frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}} x-\frac{5}{2 a^{3}} \) beschrieben. Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit \( S_{4} \) bezeichnet.

(1) Weisen Sie nach, dass \( S_{e} \) für jeden Wert von a auf der \( y \)-Achse liegt.

(2) Die Gerade mit der Gleichung \( x=\frac{5}{a} \) schneidet die Tangente \( t_{\theta} . \) Untersuchen Sie, für welchen Wert von a \( \mathbb{R} \) mit \( a>0 \) die Gerade und die Tangente \( t_{\theta} \), senkrecht zueinander verlaufen.

Problem/Ansatz:

kann man hier jemandem helfen? Ich würde mich auf eine Lösung und Erklärung sehr freuen.

Answer 1

Die Tangente \( t_{L_{4}} \) ... hat die Steigung \( \frac{1}{a^{2}} \)

Dann hat \(t_{L_4}\) eine Funktionsgleichung der Form

(1)        \(t_{L_4}(x) = \frac{1}{a^2}x + b\)

Die Tangente \( t_{L_{4}} \) an den Graphen von \( f_{a} \) im Punkt \( \left(\frac{5}{a} \mid \frac{5}{2 a^{3}}\right) \)

Dann ist

(2)        \(t_{L_4}\left(\frac{5}{a}\right) = \frac{5}{2 a^{3}}\).

Wegen (2) und (1) ist

(3)        \( \frac{5}{2 a^{3}} = \frac{1}{a^2}\cdot\frac{5}{a} + b\).

Löse (3) nach \(b\) auf und setze in (1) ein um die Gleichung der Tangente zu bestimmen.

(1) Weisen Sie nach, dass \( S_{e} \) für jeden Wert von a auf der \( y \)-Achse liegt.

Schnittpunkt zweier Geraden, deren Funktiongleichung du kennst. Schau mal in dein Regelheft von Klasse 8, wie man das macht.

(2) Die Gerade mit der Gleichung \( x=\frac{5}{a} \) schneidet die Tangente \( t_{\theta} . \)

Die Gerade verläuft senkrecht.

für welchen Wert von a \( \mathbb{R} \) mit \( a>0 \) die Gerade und die Tangente \( t_{\theta} \), senkrecht zueinander verlaufen.

Die Tangente muss deshalb waagerecht verlaufen. Welche Steigung hat die Tangente dann?

Comments

Halo,

ist Senkrecht nicht Orthogonal?

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Orthogonalität ist immer eine Beziehung zwischen zwei Objekten, nämlich das sie in einem rechten Winkel zueinander stehen.

Senkrecht kann auch als Eigenschaft eines einzelnen Objektes gemeint sein. Nämlich als die Eigenschaft, orthogonal zum aus dem Zusammenhang ersichtlichem waagerechten Objekt zu sein.

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Halo,

danke für die antwort. also in diese Aufgabe ist senkrecht waagerecht gemeint? Ich verstehe die Aufgabe nicht, deswegen frage ich. Ich dachte immer, dass senkrecht orthogonal bedeutet, deshalb weiß ich nicht warum die tangente waagerecht laufen muss.

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Die Gerade verläuft senkrecht.

Laut meinem Kommentar bedeutet das senkrecht zur \(x\)-Achse.

die Gerade und die Tangente \( t_{\theta} \), senkrecht zueinander verlaufen.

Die Gerade verläuft senkrecht zur \(x\)-Achse.

\( t_{\theta} \) verläuft senkrecht zur Geraden.

Also verläuft \( t_{\theta} \) parallel zu \(x\)-Achse.

Man sollte vermeiden, diesen Zusammenhang auf

in diese Aufgabe ist senkrecht waagerecht gemeint

zu reduzieren.

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OK gut dankeschön ich habe jetzt alles verstanden

Answer 2

t0(x) = m*x+b

m= 1/a^2

Punkt einsetzen:

5/(2a^3) = 1/a^2*5/a +b

b= ....

analog für g0 !

Answer 3

Die Tangente \( t_{L_{4}} \) hat die Gleichung y=\( \frac{2ax-5}{2a^3} \) und hat den gleichen y-Achsenabschitt wie \( y=\frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}} x-\frac{5}{2 a^{3}} \).