Wieso ist 0n nicht definiert?

Question

Erkläre wieso 0ⁿ nicht definiert ist.

Comments

$0^n$ ist z.B. für $n \in \mathbb N$ sehr wohl definiert.

Du solltest dein Frage deshalb präzisieren.

Answer 1

Aloha :)

Die Aussage stimmt nicht. Es ist:$$0^n=\underbrace{0\cdot0\cdot0\cdots0}_{\text{n Faktoren}}=0\quad\text{für }n\in\mathbb N$$

Allerdings ist $0^0$ nicht definiert. Es gilt nämlich:$$0^x=0\;\;\text{für }x>0\quad;\quad x^0=1\;\;\text{für }x>0$$Man kann daher nicht eindeutig festlegen, was nun $0^0$ sein sollte.

Die meisten Taschenrechner liefern bei $0^0$ einen Fehler. Manche Mathe-Profs definieren jedoch auch $0^0\coloneqq1$, weil das bei einigen mathematischen Beweisen Sonderfälle spart und insbesondere die Handhabung von Potenzreihen erleichtert.

Ich habe mir gemerkt, dass $0^0$ grundsätzlich nicht definiert ist, im Zusammenhang mit Potenzreihen aber $1$ ist.

Answer 2

In der Algebra definiert man die "leere Summe" $\sum_{i \in \emptyset}x$

für beliebige Summanden $x$ als neutrales Element der Addition, also

$\sum_{i \in \emptyset}x=0$. Analog definiert man das "leere Produkt"

$\prod_{i \in \emptyset} x$ als neutrales Element der Multiplikation, also

$\prod_{i \in \emptyset}x=1$. Insbesondere ist dann $0^0=1$.

Comments

Also ist das Resultat zwar definiert aber abhängig von n?

z.B.

0⁰ = 1,

0² = 0 * 0 = 0 usw?

https://www.mathelounge.de/10645/frage-zu-0-0-nicht-definiert

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Ja. So ist es!