Abbildungen/ Teilmengen Beweis

Question

Aufgabe:

Sei f : X → Y eine Abbildung. Beweisen Sie

(a) A ⊂ B ⊂ X ⇒ f(A) ⊂ f(B)

(b) A ⊂ X, B ⊂ X ⇒ f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

Problem/Ansatz:

ich verstehe leider überhaupt nicht, wie ich bei den zwei Aufgaben vorgehen soll,

es wäre schön, falls mir jemand helfen könnte.

Answer 1

A ⊂ B ⊂ X ⇒ f(A) ⊂ f(B) 

Mache dir klar was f(A) bedeutet, dass sind alle Funktionswerte,

die zu irgendeinem Element x∈A gehören, also Werte y∈Y,

für die es ein x∈A gibt mit f(x)=y.

Sei also A ⊂ B ⊂ X . Um zu zeigen f(A) ⊂ f(B)

gehst du - wie meistens bei Teilmengenbeweisen -

so vor: Es sei y∈f(A) . zu zeigen y∈f(A).

Sei also y∈f(A). Nach Def. von f(A) gibt es ein

x∈A mit f(x) = y.  Wegen A ⊂ B ist dieses x auch in B,

also x∈B und f(x)=y . Damit ist also y∈f(B) .    q.e.d.

So ähnlich geht auch (b). Teile es auf in

f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B)   und   f(A) ∪ f(B)  ⊂ f(A ∪ B) .