Menge der reellen Quadratzahlen?

Question

Kann man jemand sagen, ob es sowas gibt. Wir müssen nämlich die Menge davon bestimmen:

\(\mathbb{R}^{2}\)

Ich muss bestimmen, ob \(h:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x,y)= x \cdot y\) für alle \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) surjektiv und injektiv ist. Man kann doch für x oder y 0 einsetzen, und dann wäre es weder surjektiv noch injektiv.

Comments

\(h(x,y)= x,y\)

Was soll das Komma auf der rechten Seite bedeuten? Die Abbildung h ist so nicht sinnvoll definiert.

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Sorry da soll ein Mal Zeichen hin.

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Verwende "\cdot " als Malzeichen.

Answer 1

die Menge davon bestimmen:\(\mathbb{R}^{2}\)

\(\mathbb{R}^2\) ist die Menge aller Paare, die man aus reelen Zahlen bilden kann. Solche Paare werden üblicherweise aufgeschrieben mittels einer öffnenden Klammer, einer Zahl, einem Komma und einer schließenden Klammer.

Beispiel. Das Paar \((\frac{355}{113}, \sqrt{2})\) ist ein Element von \(\mathbb{R}^2\).

Ich muss bestimmen, ob \(h:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x,y)= x \cdot y\) für alle \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) surjektiv und injektiv ist.

Sei \(r\in \mathbb{R}\). Dann ist \(h(r,1) = 1\cdot r = r\). Also ist \(h\) surjektiv.

Außerdem ist \(h(1,2) = h(2,1)\), also ist \(h\) nicht injektiv.

Comments

Wäre dann die Abbildung nicht surjektiv und nicht injektiv wenn x oder y gleich 0 ist?

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Ob die Abbildung \(h\) injektiv ist, hängt nicht davon ab was du für \(x\) oder \(y\) einsetzt.

Ob die Abbildung \(h\) surjektiv ist, hängt nicht davon ab was du für \(x\) oder \(y\) einsetzt.

Answer 2

Aloha :)$$h\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\;;\;\binom{x}{y}\mapsto x\cdot y$$

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R\) höchstens 1-mal getroffen wird.

Wegen \(\binom{0}{1}\mapsto0\cdot1=0\) und \(\binom{1}{0}\mapsto1\cdot0=0\) wird das Element \(0\) der Zielmenge aber von zwei "Schützen" aus der Definitiosnmenge getroffen. Die Abbildung ist daher nicht injektiv.

Surjektiv bedeuet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R\) mindestens 1-mal getroffen wird.

Wir picken uns ein beliebiges Element aus der Zielmenge \(\mathbb R\) heraus und nennen es \(x\). Wir können zeigen, dass das Element \(\binom{x}{1}\in\mathbb R^2\) aus der Definitionsmenge, dieses \(x\) trifft, denn \(\binom{x}{1}\mapsto x\cdot1=x\). So können wir für jedes \(x\in\mathbb R\) ein Element der Definitionsmenge angeben, das es trifft. Die Abblildung ist daher surjektiv.