Gradienten an jeder Stelle

Question

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Verifizieren Sie für die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), dass der Gradient an beliebiger Stelle \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in D \) definiert ist. Geben Sie zudem den Gradienten an jeder Stelle \( x \in D \) an. Dabei ist die Funktion \( f \) definiert durch
(i) \( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\cos \left(x_{1} x_{2}\right)+\frac{1}{3} x_{1}^{3} x_{2} \), wobei \( D:=\mathbb{R}^{2} \).
(ii) \( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\frac{x_{2} \log \left(x_{1}\right)}{x_{1}\left(x_{2}-x_{1}^{2}\right)} \), wobei \( D:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2} \neq x_{2}, x_{1}>0\right\} \).
(iii) \( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\tan \left(x_{1} x_{2}\right)-\frac{2 x_{1}}{\sqrt{x_{2}}} \), wobei \( D:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in(0, \pi)^{2}: x_{1} x_{2} \neq \frac{\pi}{2}\right\} \).

Answer 1

Bei (i) kannst du zum "verifizieren" auf die gängigen Sätze verweisen

und berechnest den Gradienten als Vektor der partiellen Ableitungen

( mit xy statt x1x2 )

$$\begin{pmatrix} x^2 \cdot y - y \cdot sin(xy)\\ \frac{a^3}{3}- a \cdot sin(xy)\end{pmatrix}$$