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Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x_{1}^{3} x_{2}-x_{1} x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & , & \left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & , & \left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)
(i) Zeigen Sie, dass \( f \) an beliebiger Stelle \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \) zweimal stetig (partiell) differenzierbar ist und geben Sie die Hesse-Matrix von \( f \) in \( x \) an.
(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) zweimal partiell differenzierbar ist und geben Sie die Hesse-Matrix von \( f \) in \( (0,0) \) an. Warum stellt diese Gestalt der Hesse-Matrix von \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) keinen Widerspruch zum Satz von Schwarz (Satz 1.5.12) dar?
