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folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ \ln(2n^5+18n-1) }  }  $$

Das habe ich vereinfacht zu:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 4\cdot \ln(n)+\ln(23-...) }{ 5\cdot \ln(n)+\ln(2+...) }  }$$

Nun weiß ich nicht weiter...

Avatar von
Hast du denn unter dem Bruchstrich zu Beginn einen ln?
Im Anfangsterm ist mir ein Fehler unterlaufen. Der Ausdruck im Nenner muss auch gesamt in ln() gesetzt werden. Sorry!
Versuch mal, ob du das noch editieren kannst. Unknown hat editiert ;)
Editieren scheint nicht zu gehen. Hier nun nochmal der Term, wie er eigentlich hätte aussehen sollen:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ a_{ n } } \frac { ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ ln(2n^{ 5 }+18n-1) }$$

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Teile oben und unten durch ln (n)

= lim (4 + ((ln(23-7/n^2 …)/(ln(n)) /(5 + ((ln(2+...)/ln(n)) 

= (4+0)/(5+0) = 4/5 = 0.8

Avatar von 162 k 🚀
--- Sry bin von einer anderen Aufgabenstellung ausgegangen. So passt das natürlich ---
+2 Daumen

Hi,

a)

Man betrachte im Numerus nur die höchste Potenz:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ \ln(2n^5+18n-1) }  }$$

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \ln(n^{ 4 }) }{ \ln(n^5) }  }  = \lim \frac{4\ln(n)}{5\ln(n)} = \frac45$$

Das ist legitim, da bei so großen n der Rest nur noch Kleinvieh ist^^.

 

b) Hier folgt die gleiche Argumentation. Der zweite Summand kann dabei getrost vernachlässigt werden (unter der Bedingung, dass das Gepunkte von n unabhängig ist). Da nun der Faktor mit ln(n) der jeweils gleiche ist, kann dies gekürzt werden und wir haben als Grenzwert letztlich 4/5.

Hier bin ich von einer anderen Aufgabenstellung ausgegangen.

 

Grüße

Avatar von 140 k 🚀
Huch, habe übersehen, dass das zweite ja nur eine Umformung des ersteren ist.

Und dass das nur Polynome sind. Verbesserung siehe in meiner Antwort.

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