Linkskringelnd beweisen LA

Question

Aufgabe:

1 | Linkskringelnd
Eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) mit nicht-leerem Definitionsbereich \( A \) ist genau dann injektiv, wenn sie ein Linksinverses besitzt, wenn es also eine Abbildung \( A \leftarrow B: g \) gibt, für die gilt \( g \circ f=\mathrm{id}_{A} \). Eine Abbildung ist surjektiv genau dann, wenn sie ein Rechtsinverses besitzt.

Answer 1

Hallo,

es gibt natürlich verschieden Wege, das aufzuschreiben. Ich benutze mal die Charakterisierung: f ist injektiv genau dann, wenn

$$\forall b \in B: f^{-1}(b)=\{ a \in A \mid f(a)=b\}$$

besitzt höchstens ein Element, also eins oder keins.

Wenn gilt \(g \circ f=id\): Für \(b \in B\), falls \(f^{-1}(b)\) nichtleer ist, dann ex \(a \in A\) mit \(f(a)=b)\) und dann \(a=g(f(a))=g(b)\). Also: \(f^{-1}(b)\) ist leer oder besteht nur aus dem Element \(g(b)\).

Wenn f injektiv ist: Wähle ein \(a_0 \in A\) (beliebig). Definiere g durch:

$$g(b):=f^{-1}(b) \text{  , wenn dies nicht leer ist, also dann nur ein Element enthält}$$$$g(b):=a_0 \text{    sonst}$$

Gruß Mathhilf