Zeige: f ist surjektiv genau dann, wenn für alle B ⊆ Y gilt, dass f(f-1(B))=B.

Question

Aufgabe:

Sei f : X → Y eine Funktion und A ⊆ X, B ⊆ Y . Zeige: f ist surjektiv genau dann, wenn für alle B ⊆ Y gilt, dass f(f^-1(B))=B.

Problem/Ansatz: Ich habe erkannt, dass es sich um eine Äquivalenzaussage handelt und ich deswegen Hinrichtung und Rückrichtung zeigen muss. Ich fasse einmal zusammen, wie weit ich bin:

Hinrichtung: Man nehme an, f sei surjektiv. Somit gibt es für jedes y∈Y ein x∈X, s.d f(x)=y. Da B eine Teilmenge von Y ist, gibt es also auch für jedes y∈B ein x∈ f^-1(B), s.d f(x)=y. Kann ich jetzt behaupten, dass die Abbildung B→f^-1(B) bijektiv sein muss, da, wenn es nicht injektiv ist, f keine Abbildung mehr wäre? Wenn das ginge, wäre meine Idee mit der Bijektivität zu folgern, dass f•g=Identität von B ist, was ja wiederum B ist.

Rückrichtung: Hier habe ich es mit einem Widerspruchsbeweis versucht:

Sei f(f^-1(B))=B für alle B ⊆ Y. Man nehme an, f wäre nicht surjektiv. Dann gäbe es mindestens ein y∈Y, für dass es kein x∈X gibt mit f(x)=y. Es gilt aber für y∈B, dass f(f^-1(y))=y und f^-1 (y)∈X. Das ist ein Widerspruch, also ist f surjektiv.

Danke schonmal für jede Art von Rückmeldung!

Answer 1

Hinrichtung: Dass die Abbildung B→f^-1(B) bijekitv ist heisst nicht unbedingt B=f(f-1(B)). Hier muss tatsächlich Gleichheit der Mengen gezeigt werden.

"B⊆f(f-1(B))"

Sei b in B. Da f surjektiv b=f(x) für ein x in X. Bleibt zZ x ist aus f-1(B), das ist aber automatisch erfüllt, denn f(x)=b in B.

"B⊇f(f-1(B))" Sei y aus f(f-1(B)). Das heisst y=f(x), wobei x aus f-1(B) kommt. Also heisst wenn wir f auf x anwenden landen wir in B: f(x)=y in B. Fertig.

Deine Rückrichtung ist bis aus formale Kleinigkeiten okay. Angenommen f wäre nicht surjektiv, es gibt ein y... Nehme B:={y}. Dann nach Voraussetzung f(f-1({y}))={y}. Linke Seite ist aber leere Menge.