Zeigen Sie: f ist injektiv genau dann, wenn f (X \ A) ⊆ Y \ f (A) für alle A ⊆ X

Question

Aufgabe:

Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a) f ist injektiv genau dann, wenn f (X \ A) ⊆ Y \ f (A) für alle A ⊆ X.
(b) f ist surjektiv genau dann, wenn f (X \ A) ⊇ Y \ f (A) für alle A ⊆ X.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man bei beiden Aufgaben eine Äquivalenz hat. Man muss also beide Richtungen bei der Äquivalenz sinnvoll zeigen ("⇒" und "⇐")
Bei (a) habe ich mir folgendes überlegt: Sei y ∈ f (X \ A), d.h. y ∈ f(X) und y ∉ f(A). Wenn f(X) ⊆ Y ist, dann ist für das y ∈ f(X) auch y ∈ Y. Und wenn y ∉ f(A), dann ist ja auch y ∈ Y \ f (A), also ist f (X \ A) ⊆ Y \ f (A).
Sind meine Überlegungen schlüssig und der Ansatz richtig? Denn ich weiß nicht wie ich die Injektivität einbinden soll und die andere Implikation zeige. Bei (b) argumentiere ich fast genauso.

Comments

Sei y ∈ f (X \ A), d.h. y ∈ f(X) und y ∉ f(A)

Das ist so nicht ausreichend. Das heißt erst einmal nur dass es ein x in X\A gibt mit f(x)=y

Warum y nicht in f(A) liegt musst du jetzt erst noch begründen. Dazu brauchst du die Injektivität von f.

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Ich verstehe nicht, wie ich hier y ∉ f(A) mit Hilfe der Injektivität begründen soll. Kannst du das erläutern?

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Es gibt ein x in X\A mit f(x)=y

Wenn jetzt y in f(A) wäre, gäbe es ein w in A mit f(w)=y

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Dann wäre ja f(x) = y und f(w) = y, was aber wegen der Injektivität nicht sein kann. Demnach wäre y∈ f (X\A) ⊆ Y, aber da y ∉ f(A) ist muss nun y ∈ (f(X\A) ⊆ Y \ f(A)) sein. Liege ich richtig?

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Ja, du liegst richtig.

Jetzt fehlt noch die andere Implikation. Da würde ich per Kontraposition dran gehen:

f nicht injektiv => Es exisitert ein \( A \subseteq X \) mit \( f(X\backslash A) \not\subseteq Y\backslash f(A) \) 

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Dann gibt es ja ein x ∈ X\ A mit f(x) = y. Da aber f(X\A) ⊄ Y\ f(A) muss ja zwangsläufig y in f(A) sein. Es muss also ein w ∈ A geben mit f(w)=y damit f(x)=y sein kann. Das ist ja verträglich mit der Annahme, dass es keine Injektivität hier gäbe. Ist das schlüssig?