Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn für alle A⊆X gilt, dass A= f-1 (f(A)).

Question

Aufgabe: Sei f: X→Y eine Funktion und A⊆X, B⊆Y.

Zeigen sie: f ist genau dann injektiv, wenn für alle A⊆X gilt, dass A= f^-1 (f(A)).

Problem/Ansatz: Ich weiß, dass man A={y∈Y: x∈X mit f(x)=y} so beschreiben kann. Ich habe es bereits einfach mit x, x´ und f(x)=f(x´) versucht, um die Injektivität zu zeigen, komme jedoch sowohl da als auch beid der Rückrichtung nicht weiter.

Danke für jede Art von Hilfe :-)

Answer 1

Ich habe es bereits einfach mit x, x´ und f(x)=f(x´) versucht, um die Injektivität zu zeigen.

Dazu musst du ja x=x' zeigen. Nimm an die wären verschieden und betrachte dann die

Mengen A={x} und B={x'}. Die sind dann ja auch verschieden # ,

aber  f(A) und f(B) sind gleich,  denn sie enthalten ja beide nur das gleiche

Element  f(x) bzw.  f(x') . Weitere Elemente können sie nicht enthalten, denn dann

müsste es zu x oder zu x' mehrere Bilder geben,

was aber bei einer Funktion nicht möglich ist. Kurz f(A) = f(B)

==>    f^(-1)(  f(A))   =   f^(-1) (f(B))     wegen der Vor, folgt.

               A    =    B   im Widerspruch zu   #

Rückrichtung: Sei f injektiv und   A ≠  f^(-1)(  f(A))

Es ist ja immer A ⊆   f^(-1)(  f(A)) , also gibt es ein x ∈   f^(-1)(  f(A)) und x∉A.

1. x ∈  f^(-1)(  f(A)) ==>   ∃y∈f(A) mit f(x)=y , also f(x)∈f(A)

 2,  x∉A ==>   f(x) ∉ f(A) 
         denn weil f injektiv ist, gibt es kein anderes x' mit f(x')=f(x).

Somit geben 1 und 2        f(x)∈f(A)  und  f(x)∉f(A)  Widerspruch !

Comments

Hi, erstmal danke für die Antwort. Ich verstehe die Rückrichtung noch nicht wirklich. Du sagst: f ist injektiv und A ≠  f^(-1)(  f(A)). Im nächsten Satz sagst du aber, dass A eine Teil menge von A ⊆  f^(-1)(  f(A)) ist. Ich komme nicht dahinter, was du damit meinst, weil sich die beiden Sätze doch widersprechen oder nicht?

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A ⊆  f^(-1)(  f(A)) gilt immer ( sieh z.B. Wikipedia )

Wenn die beiden nicht gleich, muss also die rechte

Menge etwas enthalten, was die linke nicht enthält.