Wie kann ich bestimmen, ob folgende Reihe divergiert oder konvergiert?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich bestimmen, ob folgende Reihe divergiert oder konvergiert?

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} \)

Answer 1

Aloha :)

Ich würde das Quotientenkriterium bemühen:$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n}=\frac{2^n}{2^{n+1}}\cdot\frac{n+1}{n}=\frac12\cdot\left(1+\frac1n\right)\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac12<1$$Das Quotientenkriterium ist erfüllt, daher konvergiert die Reihe.

Comments

Schon wieder Lösungsdiarrhoe?

Versuche mal Immodium oder Loperamid.

Answer 2

Mit dem Quotientenkriterium.