Verknüpfung und Umkehrung linearer Funktionen

Question

Aufgabe:Rechnen mit Abbildungen; Grundlagen der linearen Algebra

Problem/Ansatz:Ich raff einfach gar nichts mehr. Bitte nur antworten wer sich sicher ist, dass er es versteht und kann.

Aufgabe 3:
Seien f : R ×R →R, f (x, y) = xy −y2
g : R →R ×R, g(x) = (3x, 7)
a) Bestimmen Sie f ◦g und g ◦f . (Dazu gehören auch Definitions- und Wertebereiche.)

b) Was ist f ^−1([0, 1])? (Ohne Begründung.)

c) Was ist g^−1({5}×R)? (Ohne Begründung.)

Vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse in (b) und (c), soweit möglich

Mein Kommentar: Nach unzähligen Stunden frustriert mich das ganze nur noch... und das macht 0 Spaß mehr. Optionen sind kapitulieren oder nach hilfe fragen, weil ich nicht weiter komme.

Bei der a) verstehe ich das Prinzip der Verkettung kann es aber konkret nicht anwenden. Auch stört mich einfach bei der Funktion g, dass dort (3x,7) steht?! Ich kann damit nichts anfangen, weil ich nicht weiß wie ich das behandeln soll. Auch weiß ich nicht ganz, wie ich den Definitions-und Wertebereich korrekt angeben soll.

b) f ^−1([0, 1]) ist die Umkehrfunktion von f und wird daher andersrum transkribiert?! (0,1) ist der hier definierte Wertebereich? Wie soll man das rechnen ohne es zu begründen? Ich weiß nicht wie ichs rechnen soll und weiß nicht mal was ich nicht weiß. Noch schlimmer ist das Zahlenpaar R ×R, weil ich persönlich garnix damit anfangen kann

c)g^−1({5}×R) hier das selbe und das Zahlenpaar haut mich aus dem Konzept. Wie soll das zu verstehen sein? Ich raff einfach gar nichts

Comments

@dös : Dein Versuch, die Überschrift zu verbessern, ist wieder einmal in die Hose gegangen. Welche der beiden Funktionen f , g hältst du denn für linear ?

Answer 1

Noch schlimmer ist das Zahlenpaar R ×R, weil ich persönlich garnix damit anfangen kann

Das ist kein Zahlenpaar, sondern die Menge ALLER Zahlenpaare, kannst du

vielleicht mt den Punkten des Koordinatensystems identifizieren.

Seien f : R ×R →R, f (x, y) = xy −y^2
g : R →R ×R, g(x) = (3x, 7)
a) Bestimmen Sie f ◦g und g ◦f .

Auch stört mich einfach bei der Funktion g, dass dort (3x,7) steht?! Ich kann damit nichts anfangen,

Am besten machst du dir ein paar Beispiele

f( 1,2) = 1*2 - 2^2 = 2 -4 = -2

f( 5,-7) = 5*(-7) - (-7)^2 = -35  -49 = -84    etc.

Bei g wird ja jeder reellen Zahl ein Paar zugeordnet, und alle diese Paare haben

in der 2. Komponente die 7.

Also g(3) = (9,7)     g(12) = (36,7)     g(0) = (0,7)  etc.

f ◦g  ( also f nach g ) geht also los mit einem x.

Dann bilde erst mal g(x) = ( 3x , 7 ) und dieses Ergebnis

wird wegen  f(g(x)) bei f eingesetzt, also bilde

f( 3x , 7 ) = 3x*7 - 49 = 21x - 49    fertig : (f ◦g)(x) = 21x-49

Def,bereich ℝ     Wertebereich auch.

(g◦f)(x) =  ?  Jetzt geht es also mit einem Paar los.

f(x,y) = xy-y^2 . Das wird dann bei g eingesetzt

g(  xy-y^2 ) = ( 3*(xy-y^2) , 7 ) = (3xy-3y^2 , 7)

Somit  (g◦f)(x) =  (3xy-3y^2 , 7)

Def,bereich ℝxℝ    Wertebereich ℝ x {7}

b) Was ist f ^−1([0, 1])? (Ohne Begründung.)

die Urbildmenge vom Intervall [0,1], also welche Zahlenpaare

haben als Bild eine Zahl in diesem Intervall.

Dazu musst du

0 ≤ xy-y^2 ≤ 1  lösen .

<=>  0 ≤ y*(x-y) ≤ 1

c) Was ist g^−1({5}×R)? (Ohne Begründung.)

Dazu muss g(x,y) ein Element aus {5}×R sein, also

von Typ ( 5,z)  . Wegen g(x,y)=(3x,7) muss also z=7

und 3x=5 also x=5/3 sein.

==>  Die Menge besteht nur aus dem Paar (5/3 ; 7 ) .

Comments

Moin Meister! Bist du dir sicher dass du alles richtig hast?

Text erkannt:

Aufgabe 3
\( (3+2+2=7 \) Punkte \( ) \)
Seien
\( \begin{array}{ll} f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, & f(x, y)=x y-y^{2} \\ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}, & g(x)=(3, x, 7) \end{array} \)
a) Bestimmen Siefog und \( g \circ f \). (Dazu gehören auch Definitions- und Wertebereiche)
b) Was ist \( f^{-1}([0,1]) \) ? (Ohne Begriindung.)
c) Was ist \( g^{-1}(\{5\} \times \mathbb{R}) ? \) (Ohne Begründung.)
Vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse in (b) und (c), soweit möglich.
*Aufgabe 4
(6 Bonuspunkte)
Sind die Abbildungen \( f \) und \( g \) aus Aufgabe 3 injektiv? Sind sie surjektiv?
(Beweisen Sie Ihre Behauptungen.)
Die folgenden Aufgaben werden nicht abgegeben, nicht korrigiert und ziehlen nicht zur Klausurzulassung. Ich empfehle sie aber als allgemeine Übungsaufgaben zum Thema. Teilweise sind sie einfacher als die bewerteten Aufgaben, teilweise schwerer, und manchmal verticfon sie den Stoff auch nur in cine uncrwartete Richtung. Oft lade ich später Musterlüsungen dicser Aufgabeu ins Ilias hoch.
Aufgabe 5
Formulieren Sie zu jeder der folgenden Aussagen die Negation (Gegenaussage) in möglichst natürlicher Sprache:
v) Auf jeden Topf passt genau ein Deckel.
vi) Es gibt einen Deckel, der auf genau einen Topf passt
vii) Deckel \( A \) passt auf Topf \( B \) und Topf \( C \).
viii) Deckel \( A \) passt auf Topf \( B \) oder Topf \( C \).
Aufgabe \( 6 . \)
Seien \( A, B \) und \( C \) Mengen. Sind die folgenden Aussagen inmer wahr oder manchmal falsch? Begriunden Sie Ihre Antworten!
a) \( A \backslash(B \cap C)=(A \backslash B) \cap(A \backslash C) \)
b) \( A \backslash(B \cap C)=(A \backslash B) \cup(A \backslash C) \)
c) \( A \backslash(B \cap C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) \

Bei der a) erster Teil bei f ◦g hatte ich sogar das selbe ergebnis raus, war mir aber nicht sicher man das so rechnen kann? Also habe ich da auch 21x-49 raus gehabt was man kürzen kann auf (3x-7) cool schonmal sollte das stimmen

Bei der b) weiß ich nicht wie ich das rechnen soll um ehrlich zu sein. Bräuchte hier erweiterte Hilfe bitte

Die c) ist mir einleuchtend nachdem ich verstanden habe was ({5}×R) wirklich bedeutet und deine Lösung macht Sinn!!!! Ich kann es nachvollziehen! Vorher konnte ich nichts damit anfangen

Text erkannt:

Aufgabe 3 \( (3+2+2=7 \) Punkte \( ) \)
Seien
\( \begin{array}{ll} f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, & f(x, y)=x y-y^{2} \\ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}, & g(x)=(3, x, 7) \end{array} \)
a) Bestimmen Siefog und \( g \circ f \). (Dazu gehören auch Definitions- und Wertebereiche)
b) Was ist \( f^{-1}([0,1]) \) ? (Ohne Begriindung.)
c) Was ist \( g^{-1}(\{5\} \times \mathbb{R}) ? \) (Ohne Begründung.)
Vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse in (b) und (c), soweit möglich.
*Aufgabe 4
(6 Bonuspunkte)
Sind die Abbildungen \( f \) und \( g \) aus Aufgabe 3 injektiv? Sind sie surjektiv?
(Beweisen Sie Ihre Behauptungen.)
Die folgenden Aufgaben werden nicht abgegeben, nicht korrigiert und ziehlen nicht zur Klausurzulassung. Ich empfehle sie aber als allgemeine Übungsaufgaben zum Thema. Teilweise sind sie einfacher als die bewerteten Aufgaben, teilweise schwerer, und manchmal verticfon sie den Stoff auch nur in cine uncrwartete Richtung. Oft lade ich später Musterlüsungen dicser Aufgabeu ins Ilias hoch.
Aufgabe 5
Formulieren Sie zu jeder der folgenden Aussagen die Negation (Gegenaussage) in möglichst natürlicher Sprache:
v) Auf jeden Topf passt genau ein Deckel.
vi) Es gibt einen Deckel, der auf genau einen Topf passt
vii) Deckel \( A \) passt auf Topf \( B \) und Topf \( C \).
viii) Deckel \( A \) passt auf Topf \( B \) oder Topf \( C \).
Aufgabe \( 6 . \)
Seien \( A, B \) und \( C \) Mengen. Sind die folgenden Aussagen inmer wahr oder manchmal falsch? Begriunden Sie Ihre Antworten!
a) \( A \backslash(B \cap C)=(A \backslash B) \cap(A \backslash C) \)
b) \( A \backslash(B \cap C)=(A \backslash B) \cup(A \backslash C) \)
c) \( A \backslash(B \cap C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)

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a) hatte ich wirklich genauso gerechnet gehabt und man kann das ergebnis noch kürzen auf (3x-7) oder?

b) Weiß immer noch nicht wie ich das jetzt richtig rechnen soll um ehrlich zu sein

c) Ist mir einleuchtend nachdem ich deine Rechnung nachvollziehen kann. Vorher hatte ich keinen plan was ich damit anfagen sollte.