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Sei ℝ die Menge der Funktionen f : [0, 1] → ℝ Auf dieser Menge
werden Addition und Multiplikation definiert durch (f + g)(x) = f(x) + g(x),
(f · g)(x) = f(x) · g(x). Ist ℝ ein Körper?

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Sei ℝ die Menge der Funktionen f : [0, 1] → ℝ

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2 Antworten

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Die 1 in diesem Verknüpfungsgebilde ist ja die

konstante Funktion vom Wert 1.

Betrachte z.B. die Funktion mit f(x)=1-2x.

Es gibt aber keine Funktion auf [0,1] mit f(x)*g(x) = 1,

denn f hat bei 0,5 eine Nullstelle, also

ist immer f(0,5)*g(0,5) = 0.

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Die Menge der Funktionen besitzt Nullteiler, z.B.

f=χ[0,1/3]f=\chi_{[0,1/3]} und g=χ[2/3,1]g=\chi_{[2/3,1]}. Es gilt fg=0f\cdot g=0,

aber f0f\neq 0 und g0g\neq 0.

Hier bedeutet χA\chi_A für eine Teilmenge A[0,1]A\subseteq [0,1] die

charakteristische Funktion von AA, also x0,x\mapsto 0, wenn xAx\notin A,

x1,x \mapsto 1, wenn xAx\in A.

Da ein Körper keine (echten) Nullteiler besitzt, ist diese Menge kein Körper.

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